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Popolare Trigonometria >

2cos(x)>cos(2x)

Soluzione

2 cos (x) > cos (2 x)

Soluzione

- arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn < x < arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn

Notazione dell’intervallo

(- arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn, arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn)

Decimale

- 1.94553 \dots + 2 πn < x < 1.94553 \dots + 2 πn

Fasi della soluzione

2 cos (x) > cos (2 x)

Spostare

cos (2 x)

a sinistra dell'equazione

2 cos (x) > cos (2 x)

Sottrarre

cos (2 x)

da entrambi i lati

2 cos (x) - cos (2 x) > cos (2 x) - cos (2 x)

2 cos (x) - cos (2 x) > 0

2 cos (x) - cos (2 x) > 0

Usare l'identità seguente:

cos (2 x) = - 1 + 2 cos^{2} (x)

- (- 1 + 2 cos^{2} (x)) + 2 cos (x) > 0

Semplificare

1 - 2 cos^{2} (x) + 2 cos (x) > 0

Sia:

u = cos (x)

1 - 2 u^{2} + 2 u > 0

1 - 2 u^{2} + 2 u > 0 : \frac{- 3 + 1}{2} < u < \frac{3 + 1}{2}

1 - 2 u^{2} + 2 u > 0

Completa il quadrato

1 - 2 u^{2} + 2 u : - 2 (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2}

1 - 2 u^{2} + 2 u

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c

- 2 u^{2} + 2 u + 1

Scrivi

- 2 u^{2} + 2 u + 1

in forma:

x^{2} + 2 a x + a^{2}

Fattorizza fuori

- 2

- 2 (u^{2} - u - \frac{1}{2})

2 a = - 1 : a = - \frac{1}{2}

2 a = - 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 a = - 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 a}{2} = \frac{- 1}{2}

Semplificare

a = - \frac{1}{2}

a = - \frac{1}{2}

Somma e sottrai

(- \frac{1}{2})^{2}

- 2 (u^{2} - u - \frac{1}{2} + (- \frac{1}{2})^{2} - (- \frac{1}{2})^{2})

x^{2} + 2 a x + a^{2} = (x + a)^{2}

u^{2} - 1 u + (- \frac{1}{2})^{2} = (u - \frac{1}{2})^{2}

- 2 ((u - \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{2} - (- \frac{1}{2})^{2})

Semplificare

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2}

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2} > 0

Spostare

\frac{3}{2}

a destra dell'equazione

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2} > 0

Sottrarre

\frac{3}{2}

da entrambi i lati

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2} - \frac{3}{2} > 0 - \frac{3}{2}

Semplificare

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} > - \frac{3}{2}

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} > - \frac{3}{2}

Moltiplica entrambi i lati per

- 1

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} > - \frac{3}{2}

Moltiplicare entrambi i lati per -1 (invertire la disuguaglianza)

(- 2 (u - \frac{1}{2})^{2}) (- 1) < (- \frac{3}{2}) (- 1)

Semplificare

2 (u - \frac{1}{2})^{2} < \frac{3}{2}

2 (u - \frac{1}{2})^{2} < \frac{3}{2}

Dividere entrambi i lati per

2

2 (u - \frac{1}{2})^{2} < \frac{3}{2}

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 ( u - \frac{1}{2} ) ^{2}}{2} < \frac{\frac{3}{2}}{2}

Semplificare

\frac{2 ( u - \frac{1}{2} ) ^{2}}{2} < \frac{\frac{3}{2}}{2}

Semplificare

\frac{2 ( u - \frac{1}{2} ) ^{2}}{2} : (u - \frac{1}{2})^{2}

\frac{2 ( u - \frac{1}{2} ) ^{2}}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= (u - \frac{1}{2})^{2}

Semplificare

\frac{\frac{3}{2}}{2} : \frac{3}{4}

\frac{\frac{3}{2}}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3}{2 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3}{4}

(u - \frac{1}{2})^{2} < \frac{3}{4}

(u - \frac{1}{2})^{2} < \frac{3}{4}

(u - \frac{1}{2})^{2} < \frac{3}{4}

Per

u^{n} < a

, se

n

è pari allora

- n a < u < n a

- \frac{3}{4} < u - \frac{1}{2} < \frac{3}{4}

a < u < b

allora

a < u and u < b

- \frac{3}{4} < u - \frac{1}{2} and u - \frac{1}{2} < \frac{3}{4}

- \frac{3}{4} < u - \frac{1}{2} : u > \frac{- 3 + 1}{2}

- \frac{3}{4} < u - \frac{1}{2}

Scambia i lati

u - \frac{1}{2} > - \frac{3}{4}

Semplifica

\frac{3}{4} : \frac{3}{2}

\frac{3}{4}

Applicare la regola della radice:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

assumendo

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{3}{4}

4 = 2

4

Fattorizzare il numero:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{3}{2}

u - \frac{1}{2} > - \frac{3}{2}

Spostare

\frac{1}{2}

a destra dell'equazione

u - \frac{1}{2} > - \frac{3}{2}

Aggiungi

\frac{1}{2}

ad entrambi i lati

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} > - \frac{3}{2} + \frac{1}{2}

Semplificare

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} > - \frac{3}{2} + \frac{1}{2}

Semplificare

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} : u

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}

Aggiungi elementi simili:

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} > 0

= u

Semplificare

- \frac{3}{2} + \frac{1}{2} : \frac{- 3 + 1}{2}

- \frac{3}{2} + \frac{1}{2}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 3 + 1}{2}

u > \frac{- 3 + 1}{2}

u > \frac{- 3 + 1}{2}

u > \frac{- 3 + 1}{2}

u - \frac{1}{2} < \frac{3}{4} : u < \frac{3 + 1}{2}

u - \frac{1}{2} < \frac{3}{4}

Applicare la regola della radice:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

assumendo

a \geq 0, b \geq 0

u - \frac{1}{2} < \frac{3}{4}

4 = 2

4

Fattorizzare il numero:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

u - \frac{1}{2} < \frac{3}{2}

Spostare

\frac{1}{2}

a destra dell'equazione

u - \frac{1}{2} < \frac{3}{2}

Aggiungi

\frac{1}{2}

ad entrambi i lati

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} < \frac{3}{2} + \frac{1}{2}

Semplificare

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} < \frac{3}{2} + \frac{1}{2}

Semplificare

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} : u

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}

Aggiungi elementi simili:

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} < 0

= u

Semplificare

\frac{3}{2} + \frac{1}{2} : \frac{3 + 1}{2}

\frac{3}{2} + \frac{1}{2}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 + 1}{2}

u < \frac{3 + 1}{2}

u < \frac{3 + 1}{2}

u < \frac{3 + 1}{2}

Combina gli intervalli

u > \frac{- 3 + 1}{2} and u < \frac{3 + 1}{2}

Unire gli intervalli sovrapposti

u > \frac{- 3 + 1}{2} and u < \frac{3 + 1}{2}

L'intersezione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in entrambi gli intervalli

u > \frac{- 3 + 1}{2}

u < \frac{3 + 1}{2}

\frac{- 3 + 1}{2} < u < \frac{3 + 1}{2}

\frac{- 3 + 1}{2} < u < \frac{3 + 1}{2}

\frac{- 3 + 1}{2} < u < \frac{3 + 1}{2}

Sostituire indietro

u = cos (x)

\frac{- 3 + 1}{2} < cos (x) < \frac{3 + 1}{2}

a < u < b

allora

a < u and u < b

\frac{- 3 + 1}{2} < cos (x) and cos (x) < \frac{3 + 1}{2}

\frac{- 3 + 1}{2} < cos (x) : - arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn < x < arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn

\frac{- 3 + 1}{2} < cos (x)

Scambia i lati

cos (x) > \frac{- 3 + 1}{2}

Per

cos (x) > a

, se

- 1 \leq a < 1

allora

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn < x < arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn

cos (x) < \frac{3 + 1}{2} :

Vero per tutti

x \in R

cos (x) < \frac{3 + 1}{2}

Intervallo di

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definizione dell'intervallo di valori della funzione

L'intervallo della funzione di base

cos

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) < \frac{3 + 1}{2} and - 1 \leq cos (x) \leq 1 : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Lasciare

y = cos (x)

Combina gli intervalli

y < \frac{3 + 1}{2} and - 1 \leq y \leq 1

Unire gli intervalli sovrapposti

y < \frac{3 + 1}{2} and - 1 \leq y \leq 1

L'intersezione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in entrambi gli intervalli

y < \frac{3 + 1}{2}

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Vero per tutte x

Vero per tutti x \in R

Combina gli intervalli

- arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn < x < arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn and Vero per tutti x \in R

Unire gli intervalli sovrapposti

- arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn < x < arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn

Esempi popolari

tan^2(x)<1

tan^{2} (x) < 1

sin(2t)<1,(0,2pi)

sin (2 t) < 1, (0, 2 π)

2sin^2(x)-3sin(x)+1<= 0

2 sin^{2} (x) - 3 sin (x) + 1 \leq 0

cos(x)-1/2 cos(2x)<0

cos (x) - \frac{1}{2} cos (2 x) < 0

cot(θ)<sqrt(3)

cot (θ) < 3