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受欢迎的三角函数 >

9^{1+sin^2(pix)}+30*9^{cos^2(pix)}<= 117

解答

9^{1 + s i n^{2} (π x)} + 30 \cdot 9^{c o s^{2} (π x)} \leq 117

解答

对所有 x \in R 为假

求解步骤

9^{1 + s i n^{2} (π x)} + 30 \cdot 9^{c o s^{2} (π x)} \leq 117

利用以下特性:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

因此

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

9^{1 + s i n^{2} (π x)} + 30 \cdot 9^{1 - s i n^{2} (π x)} \leq 117

化简

9^{1 + s i n^{2} (π x)} + 30 \cdot 9^{1 - s i n^{2} (π x)} : 9^{1 + s i n^{2} (π x)} + 10 \cdot 3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3}

9^{1 + s i n^{2} (π x)} + 30 \cdot 9^{1 - s i n^{2} (π x)}

30 \cdot 9^{1 - s i n^{2} (π x)} = 10 \cdot 3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3}

30 \cdot 9^{1 - s i n^{2} (π x)}

分解整数

30 = 3 \cdot 10

= 3 \cdot 10 \cdot 9^{1 - s i n^{2} (π x)}

分解整数

9 = 3^{2}

= 3 \cdot 10 (3^{2})^{1 - s i n^{2} (π x)}

使用指数法则:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

(3^{2})^{1 - s i n^{2} (π x)} = 3^{2 (1 - s i n^{2} (π x))}

= 3 \cdot 10 \cdot 3^{2 (1 - s i n^{2} (π x))}

使用指数法则:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

3 \cdot 3^{2 (1 - s i n^{2} (π x))} = 3^{1 + 2 (- s i n^{2} (π x) + 1)}

= 10 \cdot 3^{1 + 2 (1 - s i n^{2} (π x))}

3^{1 + 2 (1 - s i n^{2} (π x))} = 3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3}

3^{1 + 2 (1 - s i n^{2} (π x))}

乘开

1 + 2 (1 - sin^{2} (π x)) : - 2 sin^{2} (π x) + 3

1 + 2 (1 - sin^{2} (π x))

乘开

2 (1 - sin^{2} (π x)) : 2 - 2 sin^{2} (π x)

2 (1 - sin^{2} (π x))

使用分配律:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = sin^{2} (π x)

= 2 \cdot 1 - 2 sin^{2} (π x)

数字相乘:

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 sin^{2} (π x)

= 1 + 2 - 2 sin^{2} (π x)

数字相加:

1 + 2 = 3

= - 2 sin^{2} (π x) + 3

= 3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3}

= 10 \cdot 3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3}

= 9^{s i n^{2} (π x) + 1} + 10 \cdot 3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3}

9^{1 + s i n^{2} (π x)} + 10 \cdot 3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3} \leq 117

使用指数运算法则

9^{1 + s i n^{2} (π x)} + 10 \cdot 3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3} \leq 117

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

9^{1 + s i n^{2} (π x)} = 9 \cdot 9^{s i n^{2} (π x)}

9 \cdot 9^{s i n^{2} (π x)} + 10 \cdot 3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3} \leq 117

使用指数法则:

a^{b - c} = \frac{a ^{b}}{a ^{c}}

3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3} = \frac{3 ^{3}}{3 ^{2 s i n^{2} (π x)}}

9 \cdot 9^{s i n^{2} (π x)} + 10 \cdot \frac{3 ^{3}}{3 ^{2 s i n^{2} (π x)}} \leq 117

如果

f (x) > 0

，我们可以在不等式的两侧乘以或除以

f (x)

对于所有

x

，

3^{2 s i n^{2} (π x)}

大于

0

9 \cdot 9^{s i n^{2} (π x)} \cdot 3^{2 s i n^{2} (π x)} + 10 \cdot \frac{3 ^{3}}{3 ^{2 s i n^{2} (π x)}} \cdot 3^{2 s i n^{2} (π x)} \leq 117 \cdot 3^{2 s i n^{2} (π x)}

化简

9 \cdot 9^{s i n^{2} (π x)} \cdot 3^{2 s i n^{2} (π x)} + 270 \leq 117 \cdot 3^{2 s i n^{2} (π x)}

使用指数法则:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

3^{2 s i n^{2} (π x)} = (3^{s i n^{2} (π x)})^{2}

9 \cdot 9^{s i n^{2} (π x)} (3^{s i n^{2} (π x)})^{2} + 270 \leq 117 (3^{s i n^{2} (π x)})^{2}

使用指数法则:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

3^{2 s i n^{2} (π x)} = (3^{s i n^{2} (π x)})^{2}

9 \cdot 9^{s i n^{2} (π x)} (3^{s i n^{2} (π x)})^{2} + 270 \leq 117 (3^{s i n^{2} (π x)})^{2}

将

9^{s i n^{2} (π x)}

改写为

3^{2 s i n^{2} (π x)}

9^{s i n^{2} (π x)}

9 = 3^{2}

= (3^{2})^{s i n^{2} (π x)}

使用指数法则:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

(3^{2})^{s i n^{2} (π x)} = 3^{2 s i n^{2} (π x)}

= 3^{2 s i n^{2} (π x)}

使用指数法则:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

3^{2 s i n^{2} (π x)} = (3^{s i n^{2} (π x)})^{2}

9 (3^{s i n^{2} (π x)})^{2} (3^{s i n^{2} (π x)})^{2} + 270 \leq 117 (3^{s i n^{2} (π x)})^{2}

9 (3^{s i n^{2} (π x)})^{2} (3^{s i n^{2} (π x)})^{2} + 270 \leq 117 (3^{s i n^{2} (π x)})^{2}

令

v = 3^{s i n^{2} (π x)}

9 v^{2} v^{2} + 270 \leq 117 v^{2}

9 v^{2} v^{2} + 270 \leq 117 v^{2} : - 10 \leq v \leq - 3 or 3 \leq v \leq 10

9 v^{2} v^{2} + 270 \leq 117 v^{2}

改写为标准形式

9 v^{2} v^{2} + 270 \leq 117 v^{2}

化简

9 v^{2} v^{2} + 270 : 9 v^{4} + 270

9 v^{2} v^{2} + 270

9 v^{2} v^{2} = 9 v^{4}

9 v^{2} v^{2}

使用指数法则:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

v^{2} v^{2} = v^{2 + 2}

= 9 v^{2 + 2}

数字相加:

2 + 2 = 4

= 9 v^{4}

= 9 v^{4} + 270

9 v^{4} + 270 \leq 117 v^{2}

两边减去

117 v^{2}

9 v^{4} + 270 - 117 v^{2} \leq 117 v^{2} - 117 v^{2}

化简

9 v^{4} + 270 - 117 v^{2} \leq 0

两边除以

9

\frac{9 v ^{4}}{9} + \frac{270}{9} - \frac{117 v ^{2}}{9} \leq \frac{0}{9}

整理

\frac{9 v ^{4}}{9} + \frac{270}{9} - \frac{117 v ^{2}}{9} \leq \frac{0}{9} : v^{4} - 13 v^{2} + 30 \leq 0

\frac{9 v ^{4}}{9} + \frac{270}{9} - \frac{117 v ^{2}}{9} \leq \frac{0}{9}

化简

\frac{9 v ^{4}}{9} + \frac{270}{9} - \frac{117 v ^{2}}{9} : v^{4} - 13 v^{2} + 30

\frac{9 v ^{4}}{9} + \frac{270}{9} - \frac{117 v ^{2}}{9}

数字相除:

\frac{9}{9} = 1

= v^{4} + \frac{270}{9} - \frac{117 v ^{2}}{9}

数字相除:

\frac{270}{9} = 30

= v^{4} + 30 - \frac{117 v ^{2}}{9}

数字相除:

\frac{117}{9} = 13

= v^{4} + 30 - 13 v^{2}

改写为标准形式

= v^{4} - 13 v^{2} + 30

\frac{0}{9} = 0

\frac{0}{9}

使用法则

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

v^{4} - 13 v^{2} + 30 \leq 0

v^{4} - 13 v^{2} + 30 \leq 0

v^{4} - 13 v^{2} + 30 \leq 0

分解

v^{4} - 13 v^{2} + 30 : (v + 3) (v - 3) (v + 10) (v - 10)

v^{4} - 13 v^{2} + 30

令

u = v^{2}

= u^{2} - 13 u + 30

分解

u^{2} - 13 u + 30 : (u - 3) (u - 10)

u^{2} - 13 u + 30

将表达式拆分成组

u^{2} - 13 u + 30

定义

30

的因数:

1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

30

约数 (因数)

找到

30

的质因数:

2, 3, 5

30

30

除以

230 = 15 \cdot 2

= 2 \cdot 15

15

除以

315 = 5 \cdot 3

= 2 \cdot 3 \cdot 5

2, 3, 5

都是质数，因此无法进一步因数分解

= 2 \cdot 3 \cdot 5

乘以

30

的质因数:

6, 10, 15

2 \cdot 3 = 6

2 \cdot 5 = 10

6, 10, 15

6, 10, 15

添加质因数:

2, 3, 5

将 1 和数字

30

自身相加

1, 30

30

的因数

1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

30

的负因数:

- 1, - 2, - 3, - 5, - 6, - 10, - 15, - 30

将因数乘以

- 1

得到负因数

- 1, - 2, - 3, - 5, - 6, - 10, - 15, - 30

对于每两个因数

u * v = 30

，检验是否

u + v = - 13

检验

u = 1, v = 30 : u * v = 30, u + v = 31 \Rightarrow

假检验

u = 2, v = 15 : u * v = 30, u + v = 17 \Rightarrow

假

u = - 3, v = - 10

分组为

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(u^{2} - 3 u) + (- 10 u + 30)

= (u^{2} - 3 u) + (- 10 u + 30)

从

u^{2} - 3 u

分解出因式

u

u (u - 3)

u^{2} - 3 u

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= uu - 3 u

因式分解出通项

u

= u (u - 3)

从

- 10 u + 30

分解出因式

- 10

- 10 (u - 3)

- 10 u + 30

将

30

改写为

10 \cdot 3

= - 10 u + 10 \cdot 3

因式分解出通项

- 10

= - 10 (u - 3)

= u (u - 3) - 10 (u - 3)

因式分解出通项

u - 3

= (u - 3) (u - 10)

= (u - 3) (u - 10)

u = v^{2}

代回

= (v^{2} - 3) (v^{2} - 10)

分解

v^{2} - 3 : (v + 3) (v - 3)

v^{2} - 3

使用根式运算法则:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= v^{2} - (3)^{2}

使用平方差公式:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

v^{2} - (3)^{2} = (v + 3) (v - 3)

= (v + 3) (v - 3)

= (v + 3) (v - 3) (v^{2} - 10)

分解

v^{2} - 10 : (v + 10) (v - 10)

v^{2} - 10

使用根式运算法则:

a = (a)^{2}

10 = (10)^{2}

= v^{2} - (10)^{2}

使用平方差公式:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

v^{2} - (10)^{2} = (v + 10) (v - 10)

= (v + 10) (v - 10)

= (v + 3) (v - 3) (v + 10) (v - 10)

(v + 3) (v - 3) (v + 10) (v - 10) \leq 0

确定区间

确定

(v + 3) (v - 3) (v + 10) (v - 10)

符号

确定

v + 3

符号

v + 3 = 0 : v = - 3

v + 3 = 0

将

3

到右边

v + 3 = 0

两边减去

3

v + 3 - 3 = 0 - 3

化简

v = - 3

v = - 3

v + 3 < 0 : v < - 3

v + 3 < 0

将

3

到右边

v + 3 < 0

两边减去

3

v + 3 - 3 < 0 - 3

化简

v < - 3

v < - 3

v + 3 > 0 : v > - 3

v + 3 > 0

将

3

到右边

v + 3 > 0

两边减去

3

v + 3 - 3 > 0 - 3

化简

v > - 3

v > - 3

确定

v - 3

符号

v - 3 = 0 : v = 3

v - 3 = 0

将

3

到右边

v - 3 = 0

两边加上

3

v - 3 + 3 = 0 + 3

化简

v = 3

v = 3

v - 3 < 0 : v < 3

v - 3 < 0

将

3

到右边

v - 3 < 0

两边加上

3

v - 3 + 3 < 0 + 3

化简

v < 3

v < 3

v - 3 > 0 : v > 3

v - 3 > 0

将

3

到右边

v - 3 > 0

两边加上

3

v - 3 + 3 > 0 + 3

化简

v > 3

v > 3

确定

v + 10

符号

v + 10 = 0 : v = - 10

v + 10 = 0

将

10

到右边

v + 10 = 0

两边减去

10

v + 10 - 10 = 0 - 10

化简

v = - 10

v = - 10

v + 10 < 0 : v < - 10

v + 10 < 0

将

10

到右边

v + 10 < 0

两边减去

10

v + 10 - 10 < 0 - 10

化简

v < - 10

v < - 10

v + 10 > 0 : v > - 10

v + 10 > 0

将

10

到右边

v + 10 > 0

两边减去

10

v + 10 - 10 > 0 - 10

化简

v > - 10

v > - 10

确定

v - 10

符号

v - 10 = 0 : v = 10

v - 10 = 0

将

10

到右边

v - 10 = 0

两边加上

10

v - 10 + 10 = 0 + 10

化简

v = 10

v = 10

v - 10 < 0 : v < 10

v - 10 < 0

将

10

到右边

v - 10 < 0

两边加上

10

v - 10 + 10 < 0 + 10

化简

v < 10

v < 10

v - 10 > 0 : v > 10

v - 10 > 0

将

10

到右边

v - 10 > 0

两边加上

10

v - 10 + 10 > 0 + 10

化简

v > 10

v > 10

总结如下表：

v + 3 v - 3 v + 10 v - 10 (v + 3) (v - 3) (v + 10) (v - 10) v < - 10 - - - - + v = - 10 - - 0 - 0 - 10 < v < - 3 - - + - - v = - 3 0 - + - 0 - 3 < v < 3 + - + - + v = 3 + 0 + - 0 3 < v < 10 + + + - - v = 10 + + + 00 v > 10 + + + + +

确定满足所需条件的区间：

\leq 0

v = - 10 or - 10 < v < - 3 or v = - 3 or v = 3 or 3 < v < 10 or v = 10

合并重叠的区间

- 10 \leq v \leq - 3 or 3 \leq v < 10 or v = 10

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

v = - 10

- 10 < v < - 3

- 10 \leq v < - 3

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

- 10 \leq v < - 3

v = - 3

- 10 \leq v \leq - 3

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

- 10 \leq v \leq - 3

v = 3

- 10 \leq v \leq - 3 or v = 3

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

- 10 \leq v \leq - 3 or v = 3

3 < v < 10

- 10 \leq v \leq - 3 or 3 \leq v < 10

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

- 10 \leq v \leq - 3 or 3 \leq v < 10

v = 10

- 10 \leq v \leq - 3 or 3 \leq v \leq 10

- 10 \leq v \leq - 3 or 3 \leq v \leq 10

- 10 \leq v \leq - 3 or 3 \leq v \leq 10

- 10 \leq v \leq - 3 or 3 \leq v \leq 10

v = 3^{s i n^{2} (π x)}

代回

- 10 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} \leq - 3 or 3 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} \leq 10

- 10 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} \leq - 3 :

对所有

x \in R

为假

- 10 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} \leq - 3

若

a \leq u \leq b

，则

a \leq u and u \leq b

- 10 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} and 3^{s i n^{2} (π x)} \leq - 3

- 10 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} :

对所有

x \in R

为真

- 10 \leq 3^{s i n^{2} (π x)}

交换两边

3^{s i n^{2} (π x)} \geq - 10

使用指数运算法则

3^{s i n^{2} (π x)} \geq - 10

若

a > 0, a^{f (x)}

大于 0

a = 3

对所有 x \in R 为真

对所有 x 为真

对所有 x \in R 为真

3^{s i n^{2} (π x)} \leq - 3 :

对所有

x \in R

为假

3^{s i n^{2} (π x)} \leq - 3

使用指数运算法则

3^{s i n^{2} (π x)} \leq - 3

若

a > 0, a^{f (x)}

大于 0

a = 3

对所有 x \in R 为假

x \in R 无解

对所有 x \in R 为假

合并区间

对所有 x \in R 为真 and 对所有 x \in R 为假

合并重叠的区间

对所有 x \in R 为真 and 对所有 x \in R 为假

两个区间的交集是指同时存在于这两个区间的数的集合

对所有

x \in R

为真

and

对所有

x \in R

为假

对所有 x \in R 为假

对所有 x \in R 为假

3 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} \leq 10 :

对所有

x \in R

为假

3 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} \leq 10

若

a \leq u \leq b

，则

a \leq u and u \leq b

3 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} and 3^{s i n^{2} (π x)} \leq 10

3 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} : arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

3 \leq 3^{s i n^{2} (π x)}

使用指数运算法则

3 \leq 3^{s i n^{2} (π x)}

若

a > 1

，则

a^{f (x)} \leq a^{g (x)}

等于

f (x) \leq g (x)

a = 3, f (x) = \frac{1}{2}, g (x) = sin^{2} (π x)

\frac{1}{2} \leq sin^{2} (π x)

\frac{1}{2} \leq sin^{2} (π x)

\frac{1}{2} \leq sin^{2} (π x) : arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

\frac{1}{2} \leq sin^{2} (π x)

交换两边

sin^{2} (π x) \geq \frac{1}{2}

对于

u^{n} \geq a

，若

n

为偶数，则

u \leq - n a or u \geq n a

sin (π x) \leq - \frac{1}{2} or sin (π x) \geq \frac{1}{2}

sin (π x) \leq - \frac{1}{2} : - π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

sin (π x) \leq - \frac{1}{2}

对于

sin (x) \leq a

，若

- 1 < a < 1

，则

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

若

a \leq u \leq b

，则

a \leq u and u \leq b

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

sin (π x) \geq \frac{1}{2} : arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

sin (π x) \geq \frac{1}{2}

对于

sin (x) \geq a

，若

- 1 < a < 1

，则

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

若

a \leq u \leq b

，则

a \leq u and u \leq b

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

合并区间

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn or arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

合并重叠的区间

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

3^{s i n^{2} (π x)} \leq 10 :

对所有

x \in R

为真

3^{s i n^{2} (π x)} \leq 10

若

f (x) \leq g (x)

，则

ln (f (x)) \leq ln (g (x))

ln (3^{s i n^{2} (π x)}) \leq ln (10)

化简

ln (3^{s i n^{2} (π x)}) : ln (3) sin^{2} (π x)

ln (3^{s i n^{2} (π x)})

使用对数运算法则:

lo g_{a} (x^{b}) = b \cdot lo g_{a} (x),

假定

x \geq 0

= ln (3) sin^{2} (π x)

化简

ln (10) : \frac{1}{2} ln (10)

ln (10)

改写为

= ln (1 0^{\frac{1}{2}})

使用对数运算法则:

lo g_{a} (x^{b}) = b \cdot lo g_{a} (x),

假定

x \geq 0

= \frac{1}{2} ln (10)

ln (3) sin^{2} (π x) \leq \frac{1}{2} ln (10)

ln (3) sin^{2} (π x) \leq \frac{1}{2} ln (10) :

对所有

x

为真

ln (3) sin^{2} (π x) \leq \frac{1}{2} ln (10)

两边除以

ln (3)

ln (3) sin^{2} (π x) \leq \frac{1}{2} ln (10)

两边除以

ln (3)

\frac{ln ( 3 ) sin ^{2} ( π x )}{ln ( 3 )} \leq \frac{\frac{1}{2} ln ( 10 )}{ln ( 3 )}

化简

\frac{ln ( 3 ) sin ^{2} ( π x )}{ln ( 3 )} \leq \frac{\frac{1}{2} ln ( 10 )}{ln ( 3 )}

化简

\frac{ln ( 3 ) sin ^{2} ( π x )}{ln ( 3 )} : sin^{2} (π x)

\frac{ln ( 3 ) sin ^{2} ( π x )}{ln ( 3 )}

约分:

ln (3)

= sin^{2} (π x)

化简

\frac{\frac{1}{2} ln ( 10 )}{ln ( 3 )} : \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

\frac{\frac{1}{2} ln ( 10 )}{ln ( 3 )}

乘

\frac{1}{2} ln (10) : \frac{ln ( 10 )}{2}

\frac{1}{2} ln (10)

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot ln ( 10 )}{2}

乘以:

1 \cdot ln (10) = ln (10)

= \frac{ln ( 10 )}{2}

= \frac{\frac{l n ( 10 )}{2}}{ln ( 3 )}

使用分式法则:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

sin^{2} (π x) \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

sin^{2} (π x) \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

sin^{2} (π x) \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

对于

u^{n} \leq a

，若

n

为偶数，则

- n a \leq u \leq n a

- \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} \leq sin (π x) \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

若

a \leq u \leq b

，则

a \leq u and u \leq b

- \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} \leq sin (π x) and sin (π x) \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

- \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} \leq sin (π x) :

对所有

x \in R

为真

- \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} \leq sin (π x)

交换两边

sin (π x) \geq - \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

sin (π x)

的值域:

- 1 \leq sin (π x) \leq 1

函数值域定义

基本

sin

函数的值域为

- 1 \leq sin (π x) \leq 1

- 1 \leq sin (π x) \leq 1

sin (π x) \geq - \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} and - 1 \leq sin (π x) \leq 1 : - 1 \leq sin (π x) \leq 1

令

y = sin (π x)

合并区间

y \geq - \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} and - 1 \leq y \leq 1

合并重叠的区间

y \geq - \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} and - 1 \leq y \leq 1

两个区间的交集是指同时存在于这两个区间的数的集合

y \geq - \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

and

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

对所有 x 为真

对所有 x \in R 为真

sin (π x) \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} :

对所有

x \in R

为真

sin (π x) \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

sin (π x)

的值域:

- 1 \leq sin (π x) \leq 1

函数值域定义

基本

sin

函数的值域为

- 1 \leq sin (π x) \leq 1

- 1 \leq sin (π x) \leq 1

sin (π x) \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} and - 1 \leq sin (π x) \leq 1 : - 1 \leq sin (π x) \leq 1

令

y = sin (π x)

合并区间

y \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} and - 1 \leq y \leq 1

合并重叠的区间

y \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} and - 1 \leq y \leq 1

两个区间的交集是指同时存在于这两个区间的数的集合

y \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

and

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

对所有 x 为真

对所有 x \in R 为真

合并区间

对所有 x \in R 为真 and 对所有 x \in R 为真

合并重叠的区间

对所有 x \in R 为真 and 对所有 x \in R 为真

两个区间的交集是指同时存在于这两个区间的数的集合

对所有

x \in R

为真

and

对所有

x \in R

为真

对所有 x \in R 为真

对所有 x 为真

对所有 x 为真

合并区间

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn and 对所有 x \in R 为真

合并重叠的区间

对所有 x \in R 为假 and 对所有 x \in R 为真

两个区间的交集是指同时存在于这两个区间的数的集合

对所有

x \in R

为假

and

对所有

x \in R

为真

对所有 x \in R 为假

对所有 x \in R 为假

合并区间

对所有 x \in R 为假 or 对所有 x \in R 为假

合并重叠的区间

对所有 x \in R 为假 or 对所有 x \in R 为假

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

对所有

x \in R

为假

对所有

x \in R

为假

对所有 x \in R 为假

x \in R 无解

对所有 x \in R 为假

流行的例子

sin(x)+cos(2x)>1

sin (x) + cos (2 x) > 1

cos(x)>= 4

cos (x) \geq 4

arctan(θ)<= (11pi)/9

arctan (θ) \leq \frac{11 π}{9}

2sin^2(x)-5sin(x)-3>= 0,xe[0,2pi]

2 sin^{2} (x) - 5 sin (x) - 3 \geq 0, x e [0, 2 π]

4tan(x)>4,-pi/2 <θ< pi/2

4 tan (x) > 4, - \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2}