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受欢迎的三角函数 >

solvefor x, 1/(sin(x))-4<0

解答

求解

x, \frac{1}{sin ( x )} - 4 < 0

解答

arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn < x < π - arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn or - π + 2 πn < x < 2 πn

求解步骤

\frac{1}{sin ( x )} - 4 < 0

改写为标准形式

\frac{1}{sin ( x )} - 4 < 0

化简

\frac{1}{sin ( x )} - 4 : \frac{1 - 4 sin ( x )}{sin ( x )}

\frac{1}{sin ( x )} - 4

将项转换为分式:

4 = \frac{4 sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )} - \frac{4 sin ( x )}{sin ( x )}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - 4 sin ( x )}{sin ( x )}

\frac{1 - 4 sin ( x )}{sin ( x )} < 0

\frac{1 - 4 sin ( x )}{sin ( x )} < 0

确定区间

确定

\frac{1 - 4 sin ( x )}{sin ( x )}

符号

确定

1 - 4 sin (x)

符号

1 - 4 sin (x) = 0 : sin (x) = \frac{1}{4}

1 - 4 sin (x) = 0

将

1

到右边

1 - 4 sin (x) = 0

两边减去

1

1 - 4 sin (x) - 1 = 0 - 1

化简

- 4 sin (x) = - 1

- 4 sin (x) = - 1

两边除以

- 4

- 4 sin (x) = - 1

两边除以

- 4

\frac{- 4 sin ( x )}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}

化简

sin (x) = \frac{1}{4}

sin (x) = \frac{1}{4}

1 - 4 sin (x) < 0 : sin (x) > \frac{1}{4}

1 - 4 sin (x) < 0

将

1

到右边

1 - 4 sin (x) < 0

两边减去

1

1 - 4 sin (x) - 1 < 0 - 1

化简

- 4 sin (x) < - 1

- 4 sin (x) < - 1

在两边乘以

- 1

- 4 sin (x) < - 1

两边乘以 -1（不等式变号）

(- 4 sin (x)) (- 1) > (- 1) (- 1)

化简

4 sin (x) > 1

4 sin (x) > 1

两边除以

4

4 sin (x) > 1

两边除以

4

\frac{4 sin ( x )}{4} > \frac{1}{4}

化简

sin (x) > \frac{1}{4}

sin (x) > \frac{1}{4}

1 - 4 sin (x) > 0 : sin (x) < \frac{1}{4}

1 - 4 sin (x) > 0

将

1

到右边

1 - 4 sin (x) > 0

两边减去

1

1 - 4 sin (x) - 1 > 0 - 1

化简

- 4 sin (x) > - 1

- 4 sin (x) > - 1

在两边乘以

- 1

- 4 sin (x) > - 1

两边乘以 -1（不等式变号）

(- 4 sin (x)) (- 1) < (- 1) (- 1)

化简

4 sin (x) < 1

4 sin (x) < 1

两边除以

4

4 sin (x) < 1

两边除以

4

\frac{4 sin ( x )}{4} < \frac{1}{4}

化简

sin (x) < \frac{1}{4}

sin (x) < \frac{1}{4}

确定

sin (x)

符号

sin (x) = 0

sin (x) < 0

sin (x) > 0

找到奇点

找到分母的零解

sin (x) : sin (x) = 0

总结如下表：

1 - 4 sin (x) sin (x) \frac{1 - 4 s i n ( x )}{s i n ( x )} sin (x) < 0 + - - sin (x) = 0 + 0 未定义 0 < sin (x) < \frac{1}{4} + + + sin (x) = \frac{1}{4} 0 + 0 sin (x) > \frac{1}{4} - + -

确定满足所需条件的区间：

< 0

sin (x) < 0 or sin (x) > \frac{1}{4}

sin (x) < 0 or sin (x) > \frac{1}{4}

sin (x) < 0 : - π + 2 πn < x < 2 πn

sin (x) < 0

对于

sin (x) < a

，若

- 1 < a \leq 1

，则

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (0) + 2 πn < x < arcsin (0) + 2 πn

化简

- π - arcsin (0) : - π

- π - arcsin (0)

使用以下普通恒等式:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - 0

- π - 0 = - π

= - π

化简

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

使用以下普通恒等式:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

- π + 2 πn < x < 0 + 2 πn

化简

- π + 2 πn < x < 2 πn

sin (x) > \frac{1}{4} : arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn < x < π - arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn

sin (x) > \frac{1}{4}

对于

sin (x) > a

，若

- 1 \leq a < 1

，则

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn < x < π - arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn

合并区间

- π + 2 πn < x < 2 πn or arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn < x < π - arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn

合并重叠的区间

arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn < x < π - arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn or - π + 2 πn < x < 2 πn

流行的例子

1+cos(x)+sin(x)>0

1 + cos (x) + sin (x) > 0

cos(x/2)+sqrt(3)sin(x/2)<0

cos (\frac{x}{2}) + 3 sin (\frac{x}{2}) < 0

solvefor x, 1/(sqrt(3))<= tan(x)

so l v e f or x, \frac{1}{3} \leq tan (x)

sin(θ)cos(θ)tan(θ)-cos^2(θ)>0

sin (θ) cos (θ) tan (θ) - cos^{2} (θ) > 0

- 3 cos (x) + 1 \leq 1