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受欢迎的三角函数 >

sin(θ)cos(θ)tan(θ)-cos^2(θ)>0

解答

sin (θ) cos (θ) tan (θ) - cos^{2} (θ) > 0

解答

\frac{π}{4} + πn < θ < \frac{3 π}{4} + πn

+2

间隔符号

(\frac{π}{4} + πn, \frac{3 π}{4} + πn)

十进制

0.78539 \dots + πn < θ < 2.35619 \dots + πn

求解步骤

sin (θ) cos (θ) tan (θ) - cos^{2} (θ) > 0

利用以下特性:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

因此

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

sin (θ) cos (θ) tan (θ) - (1 - sin^{2} (θ)) > 0

化简

sin (θ) cos (θ) tan (θ) - 1 + sin^{2} (θ) > 0

sin (θ) cos (θ) tan (θ) - 1 + sin^{2} (θ)

的周期:

π

f (x) + c

的周期

= f (x)

的周期

c = - 1

= sin (θ) cos (θ) tan (θ) + sin^{2} (θ) 的周期

周期函数和的复合周期是这些周期的最小公倍数

sin (θ) cos (θ) tan (θ), sin^{2} (θ)

sin (θ) cos (θ) tan (θ)

的周期:

π

sin (θ) cos (θ) tan (θ)

包含以下函数及对应周期:

sin (θ)

的周期为

2 π

复合周期为:

π

sin^{2} (θ)

的周期:

π

sin^{n} (x)

的周期

= \frac{sin ( x ) 的周期}{2}

，前提是 n 为偶数

sin (θ)

的周期:

2 π

sin (x)

的周期是

2 π

= 2 π

\frac{2 π}{2}

化简

π

合并周期:

π, π

= π

用 sin, cos 表示

sin (θ) cos (θ) tan (θ) - 1 + sin^{2} (θ) > 0

使用基本三角恒等式:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

sin (θ) cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 1 + sin^{2} (θ) > 0

sin (θ) cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 1 + sin^{2} (θ) > 0

化简

sin (θ) cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 1 + sin^{2} (θ) : 2 sin^{2} (θ) - 1

sin (θ) cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 1 + sin^{2} (θ)

sin (θ) cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = sin^{2} (θ)

sin (θ) cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( θ ) sin ( θ ) cos ( θ )}{cos ( θ )}

约分:

cos (θ)

= sin (θ) sin (θ)

使用指数法则:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (θ) sin (θ) = sin^{1 + 1} (θ)

= sin^{1 + 1} (θ)

数字相加:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (θ)

= sin^{2} (θ) - 1 + sin^{2} (θ)

对同类项分组

= sin^{2} (θ) + sin^{2} (θ) - 1

同类项相加:

sin^{2} (θ) + sin^{2} (θ) = 2 sin^{2} (θ)

= 2 sin^{2} (θ) - 1

2 sin^{2} (θ) - 1 > 0

因式分解

2 sin^{2} (θ) - 1 : (2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1)

2 sin^{2} (θ) - 1

将

2 sin^{2} (θ) - 1

改写为

(2 sin (θ))^{2} - 1^{2}

2 sin^{2} (θ) - 1

使用根式运算法则:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= (2)^{2} sin^{2} (θ) - 1

将

1

改写为

1^{2}

= (2)^{2} sin^{2} (θ) - 1^{2}

使用指数法则:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(2)^{2} sin^{2} (θ) = (2 sin (θ))^{2}

= (2 sin (θ))^{2} - 1^{2}

= (2 sin (θ))^{2} - 1^{2}

使用平方差公式:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 sin (θ))^{2} - 1^{2} = (2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1)

= (2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1)

(2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1) > 0

要找到零点，将不等式设置为零

(2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1) = 0

解

(2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1) = 0

求得

0 \leq θ < π

(2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1) = 0

分别求解每个部分

2 sin (θ) - 1 = 0 : θ = \frac{π}{4} or θ = \frac{3 π}{4}

2 sin (θ) - 1 = 0, 0 \leq θ < π

将

1

到右边

2 sin (θ) - 1 = 0

两边加上

1

2 sin (θ) - 1 + 1 = 0 + 1

化简

2 sin (θ) = 1

2 sin (θ) = 1

两边除以

2

2 sin (θ) = 1

两边除以

2

\frac{2 sin ( θ )}{2} = \frac{1}{2}

化简

\frac{2 sin ( θ )}{2} = \frac{1}{2}

化简

\frac{2 sin ( θ )}{2} : sin (θ)

\frac{2 sin ( θ )}{2}

约分:

2

= sin (θ)

化简

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

乘以共轭根式

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

使用根式运算法则:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

sin (θ) = \frac{2}{2}

sin (θ) = \frac{2}{2}

sin (θ) = \frac{2}{2}

sin (θ) = \frac{2}{2}

的通解

sin (x)

周期表（周期为

2 πn

"）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

在

0 \leq θ < π

范围内的解

θ = \frac{π}{4}, θ = \frac{3 π}{4}

合并所有解

\frac{π}{4} or \frac{3 π}{4}

零点之间的区间

0 < θ < \frac{π}{4}, \frac{π}{4} < θ < \frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{4} < θ < π

总结如下表：

2 sin (θ) + 1 2 sin (θ) - 1 (2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1) θ = 0 + - - 0 < θ < \frac{π}{4} + - - θ = \frac{π}{4} + 00 \frac{π}{4} < θ < \frac{3 π}{4} + + + θ = \frac{3 π}{4} + 00 \frac{3 π}{4} < θ < π + - - θ = π + - -

确定满足所需条件的区间：

> 0

\frac{π}{4} < θ < \frac{3 π}{4}

使用周期

sin (θ) cos (θ) tan (θ) - 1 + sin^{2} (θ)

\frac{π}{4} + πn < θ < \frac{3 π}{4} + πn

流行的例子

- 3 cos (x) + 1 \leq 1

1 - tan (x) \leq 1

sin(x)>sin^2(x)

sin (x) > sin^{2} (x)

-1/(8sin^3(t))>0

- \frac{1}{8 sin ^{3} ( t )} > 0

cot (x) \geq \frac{7}{8}