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Popolare Trigonometria >

sin(θ)<0\land (csc(θ))(cos(θ))>0

Soluzione

sin (θ) < 0 and (csc (θ)) (cos (θ)) > 0

Soluzione

Falso per tutti θ \in R

Fasi della soluzione

sin (θ) < 0 and (csc (θ)) (cos (θ)) > 0

sin (θ) < 0 : - π + 2 πn < θ < 2 πn

sin (θ) < 0

Per

sin (x) < a

, se

- 1 < a \leq 1

allora

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (0) + 2 πn < θ < arcsin (0) + 2 πn

Semplificare

- π - arcsin (0) : - π

- π - arcsin (0)

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - 0

- π - 0 = - π

= - π

Semplificare

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

- π + 2 πn < θ < 0 + 2 πn

Semplificare

- π + 2 πn < θ < 2 πn

csc (θ) cos (θ) > 0 : πn < θ < \frac{π}{2} + πn

csc (θ) cos (θ) > 0

Periodicità di

csc (θ) cos (θ) : π

csc (θ) cos (θ)

è composta dalle seguenti funzioni e periodi:

csc (θ)

con periodicità di

2 π

La periodicità composta è:

= π

Esprimere con sen e cos

csc (θ) cos (θ) > 0

Usare l'identità trigonometrica di base:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

\frac{1}{sin ( θ )} cos (θ) > 0

\frac{1}{sin ( θ )} cos (θ) > 0

Semplificare

\frac{1}{sin ( θ )} cos (θ) : \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{1}{sin ( θ )} cos (θ)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( θ )}{sin ( θ )}

Moltiplicare:

1 \cdot cos (θ) = cos (θ)

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} > 0

Trova gli zeri e i punti non definiti della

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

per

0 \leq θ < π

Per trovare gli zeri, imposta l'ineguaglianza a zero

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} = 0

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} = 0, 0 \leq θ < π : θ = \frac{π}{2}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} = 0, 0 \leq θ < π

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

= cot (θ)

cot (θ) = 0

Soluzioni generali per

cot (θ) = 0

cot (x)

periodicità tabella con

πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cot (x) \mp \infty 31 \frac{3}{3} 0 - \frac{3}{3} - 1 - 3

θ = \frac{π}{2} + πn

θ = \frac{π}{2} + πn

Soluzioni per l'intervallo

0 \leq θ < π

θ = \frac{π}{2}

Trova i punti non definiti:

θ = 0

Trova le radici del denominatore

sin (θ) = 0

Soluzioni generali per

sin (θ) = 0

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

Risolvi

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Soluzioni per l'intervallo

0 \leq θ < π

θ = 0

0, \frac{π}{2}

Identifica gli intervalli

0 < θ < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < θ < π

Riassumere in una tabella:

cos (θ) sin (θ) \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )} θ = 0 + 0 “ N o n d e f ini t o “ 0 < θ < \frac{π}{2} + + + θ = \frac{π}{2} 0 + 0 \frac{π}{2} < θ < π - + - θ = π - 0 “ N o n d e f ini t o “

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

> 0

0 < θ < \frac{π}{2}

Applicare la periodicità di

csc (θ) cos (θ)

πn < θ < \frac{π}{2} + πn

Combina gli intervalli

- π + 2 πn < θ < 2 πn and πn < θ < \frac{π}{2} + πn

Unire gli intervalli sovrapposti

Falso per tutti θ \in R

Esempi popolari

cosh(θ)= 12/7 \land θ<0,sinh(θ)

cosh (θ) = \frac{12}{7} and θ < 0, sinh (θ)

0<= sin^2(x)<= 1

0 \leq sin^{2} (x) \leq 1

cos(θ)=45\land 0<θ<90,sec(θ)

cos (θ) = 45 and 0^{\circ} < θ < 9 0^{\circ}, sec (θ)

sin(θ)<0\land cot(θ)<0

sin (θ) < 0 and cot (θ) < 0

5<= 20cos(pi/(20)(x-20))+23<= 20

5 \leq 20 cos (\frac{π}{20} (x - 20)) + 23 \leq 20