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Beliebt Trigonometrie >

3cos(θ)=2+2sin(θ)

Lösung

3 cos (θ) = 2 + 2 sin (θ)

Lösung

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = 0.39479 \dots + 2 πn

Grad

θ = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 22.61986 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 cos (θ) = 2 + 2 sin (θ)

Quadriere beide Seiten

(3 cos (θ))^{2} = (2 + 2 sin (θ))^{2}

Subtrahiere

(2 + 2 sin (θ))^{2}

von beiden Seiten

9 cos^{2} (θ) - 4 - 8 sin (θ) - 4 sin^{2} (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 4 - 4 sin^{2} (θ) - 8 sin (θ) + 9 cos^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 4 - 4 sin^{2} (θ) - 8 sin (θ) + 9 (1 - sin^{2} (θ))

Vereinfache

- 4 - 4 sin^{2} (θ) - 8 sin (θ) + 9 (1 - sin^{2} (θ)) : - 13 sin^{2} (θ) - 8 sin (θ) + 5

- 4 - 4 sin^{2} (θ) - 8 sin (θ) + 9 (1 - sin^{2} (θ))

Multipliziere aus

9 (1 - sin^{2} (θ)) : 9 - 9 sin^{2} (θ)

9 (1 - sin^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 9, b = 1, c = sin^{2} (θ)

= 9 \cdot 1 - 9 sin^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

9 \cdot 1 = 9

= 9 - 9 sin^{2} (θ)

= - 4 - 4 sin^{2} (θ) - 8 sin (θ) + 9 - 9 sin^{2} (θ)

Vereinfache

- 4 - 4 sin^{2} (θ) - 8 sin (θ) + 9 - 9 sin^{2} (θ) : - 13 sin^{2} (θ) - 8 sin (θ) + 5

- 4 - 4 sin^{2} (θ) - 8 sin (θ) + 9 - 9 sin^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 4 sin^{2} (θ) - 8 sin (θ) - 9 sin^{2} (θ) - 4 + 9

Addiere gleiche Elemente:

- 4 sin^{2} (θ) - 9 sin^{2} (θ) = - 13 sin^{2} (θ)

= - 13 sin^{2} (θ) - 8 sin (θ) - 4 + 9

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 4 + 9 = 5

= - 13 sin^{2} (θ) - 8 sin (θ) + 5

= - 13 sin^{2} (θ) - 8 sin (θ) + 5

= - 13 sin^{2} (θ) - 8 sin (θ) + 5

5 - 13 sin^{2} (θ) - 8 sin (θ) = 0

Löse mit Substitution

5 - 13 sin^{2} (θ) - 8 sin (θ) = 0

Angenommen:

sin (θ) = u

5 - 13 u^{2} - 8 u = 0

5 - 13 u^{2} - 8 u = 0 : u = - 1, u = \frac{5}{13}

5 - 13 u^{2} - 8 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 13 u^{2} - 8 u + 5 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 13 u^{2} - 8 u + 5 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 13, b = - 8, c = 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 ( - 13 ) \cdot 5}{2 ( - 13 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 ( - 13 ) \cdot 5}{2 ( - 13 )}

(- 8)^{2} - 4 (- 13) \cdot 5 = 18

(- 8)^{2} - 4 (- 13) \cdot 5

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 8)^{2} + 4 \cdot 13 \cdot 5

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 8)^{2} = 8^{2}

= 8^{2} + 4 \cdot 13 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 13 \cdot 5 = 260

= 8^{2} + 260

8^{2} = 64

= 64 + 260

Addiere die Zahlen:

64 + 260 = 324

= 324

Faktorisiere die Zahl:

324 = 1 8^{2}

= 1 8^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

1 8^{2} = 18

= 18

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm 18}{2 ( - 13 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 8 ) + 18}{2 ( - 13 )}, u_{2} = \frac{- ( - 8 ) - 18}{2 ( - 13 )}

u = \frac{- ( - 8 ) + 18}{2 ( - 13 )} : - 1

\frac{- ( - 8 ) + 18}{2 ( - 13 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{8 + 18}{- 2 \cdot 13}

Addiere die Zahlen:

8 + 18 = 26

= \frac{26}{- 2 \cdot 13}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 13 = 26

= \frac{26}{- 26}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{26}{26}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- ( - 8 ) - 18}{2 ( - 13 )} : \frac{5}{13}

\frac{- ( - 8 ) - 18}{2 ( - 13 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{8 - 18}{- 2 \cdot 13}

Subtrahiere die Zahlen:

8 - 18 = - 10

= \frac{- 10}{- 2 \cdot 13}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 13 = 26

= \frac{- 10}{- 26}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{10}{26}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{5}{13}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 1, u = \frac{5}{13}

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = - 1, sin (θ) = \frac{5}{13}

sin (θ) = - 1, sin (θ) = \frac{5}{13}

sin (θ) = - 1 : θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (θ) = - 1

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = - 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (θ) = \frac{5}{13} : θ = arcsin (\frac{5}{13}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{5}{13}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{5}{13}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (θ) = \frac{5}{13}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = \frac{5}{13}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{5}{13}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{5}{13}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{5}{13}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{5}{13}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = arcsin (\frac{5}{13}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{5}{13}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

3 cos (θ) = 2 + 2 sin (θ)

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

Wahr

\frac{3 π}{2} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

Setze

θ = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

3 cos (θ) = 2 + 2 sin (θ)

ein, um zu lösen

3 cos (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) = 2 + 2 sin (\frac{3 π}{2} + 2 π 1)

Fasse zusammen

0 = 0

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arcsin (\frac{5}{13}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (\frac{5}{13}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (\frac{5}{13}) + 2 π 1

Setze

θ = arcsin (\frac{5}{13}) + 2 π 1

3 cos (θ) = 2 + 2 sin (θ)

ein, um zu lösen

3 cos (arcsin (\frac{5}{13}) + 2 π 1) = 2 + 2 sin (arcsin (\frac{5}{13}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

2.76923 \dots = 2.76923 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π - arcsin (\frac{5}{13}) + 2 πn :

Falsch

π - arcsin (\frac{5}{13}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π - arcsin (\frac{5}{13}) + 2 π 1

Setze

θ = π - arcsin (\frac{5}{13}) + 2 π 1

3 cos (θ) = 2 + 2 sin (θ)

ein, um zu lösen

3 cos (π - arcsin (\frac{5}{13}) + 2 π 1) = 2 + 2 sin (π - arcsin (\frac{5}{13}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

- 2.76923 \dots = 2.76923 \dots

\Rightarrow Falsch

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = arcsin (\frac{5}{13}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = 0.39479 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

1.65*sin(30)=1.33*sin(x)

1.65 \cdot sin (3 0^{\circ}) = 1.33 \cdot sin (x)

sin(x)+cos(x)=sqrt(3/2)

sin (x) + cos (x) = \frac{3}{2}

cos(2x)-sin(x)=0.5

cos (2 x) - sin (x) = 0.5

4+4cos(θ)=0

4 + 4 cos (θ) = 0

sin^3(x)=cos^3(x)

sin^{3} (x) = cos^{3} (x)