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Populaire Trigonométrie >

tan^2(x)+tan(x)+cot(x)+cot^2(x)=4

Solution

tan^{2} (x) + tan (x) + cot (x) + cot^{2} (x) = 4

Solution

x = \frac{π}{4} + πn, x = 1.93566 \dots + πn, x = 2.77672 \dots + πn

Degrés

x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 110.90515 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 159.09484 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

étapes des solutions

tan^{2} (x) + tan (x) + cot (x) + cot^{2} (x) = 4

Soustraire

4

des deux côtés

tan^{2} (x) + tan (x) + cot (x) + cot^{2} (x) - 4 = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- 4 + cot (x) + cot^{2} (x) + tan (x) + tan^{2} (x)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

tan (x) = \frac{1}{cot ( x )}

= - 4 + cot (x) + cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ( x )} + (\frac{1}{cot ( x )})^{2}

(\frac{1}{cot ( x )})^{2} = \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cot ( x )})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cot ^{2} ( x )}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

= - 4 + cot (x) + cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ( x )} + \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

- 4 + cot (x) + cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ^{2} ( x )} + \frac{1}{cot ( x )} = 0

Résoudre par substitution

- 4 + cot (x) + cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ^{2} ( x )} + \frac{1}{cot ( x )} = 0

Soit :

cot (x) = u

- 4 + u + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u} = 0

- 4 + u + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u} = 0 : u = 1, u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

- 4 + u + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u} = 0

Multiplier par le PPCM

- 4 + u + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u} = 0

Trouver le plus petit commun multiple de

u^{2}, u : u^{2}

u^{2}, u

Plus petit commun multiple (PPCM)

Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent soit dans

u^{2}

ou dans

u

= u^{2}

Multipier par PPCM =

u^{2}

- 4 u^{2} + u u^{2} + u^{2} u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} u^{2} + \frac{1}{u} u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Simplifier

- 4 u^{2} + u u^{2} + u^{2} u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} u^{2} + \frac{1}{u} u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Simplifier

u u^{2} : u^{3}

u u^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u u^{2} = u^{1 + 2}

= u^{1 + 2}

Additionner les nombres :

1 + 2 = 3

= u^{3}

Simplifier

u^{2} u^{2} : u^{4}

u^{2} u^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u^{2} = u^{2 + 2}

= u^{2 + 2}

Additionner les nombres :

2 + 2 = 4

= u^{4}

Simplifier

\frac{1}{u ^{2}} u^{2} : 1

\frac{1}{u ^{2}} u^{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u ^{2}}{u ^{2}}

Annuler le facteur commun :

u^{2}

= 1

Simplifier

\frac{1}{u} u^{2} : u

\frac{1}{u} u^{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u ^{2}}{u}

Multiplier:

1 \cdot u^{2} = u^{2}

= \frac{u ^{2}}{u}

Annuler le facteur commun :

u

= u

Simplifier

0 \cdot u^{2} : 0

0 \cdot u^{2}

Appliquer la règle

0 \cdot a = 0

= 0

- 4 u^{2} + u^{3} + u^{4} + 1 + u = 0

- 4 u^{2} + u^{3} + u^{4} + 1 + u = 0

- 4 u^{2} + u^{3} + u^{4} + 1 + u = 0

Résoudre

- 4 u^{2} + u^{3} + u^{4} + 1 + u = 0 : u = 1, u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

- 4 u^{2} + u^{3} + u^{4} + 1 + u = 0

Ecrire sous la forme standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{4} + u^{3} - 4 u^{2} + u + 1 = 0

Factoriser

u^{4} + u^{3} - 4 u^{2} + u + 1 : (u - 1)^{2} (u^{2} + 3 u + 1)

u^{4} + u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

Utiliser le théorème de la racine rationnelle

a_{0} = 1, a_{n} = 1

Les diviseurs de

a_{0} : 1,

Les diviseurs de

a_{n} : 1

Par conséquent, vérifier les nombres rationnels suivants :

\pm \frac{1}{1}

\frac{1}{1}

est une racine de l'expression, donc factorise

u - 1

= (u - 1) \frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

\frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

\frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

Diviser

\frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} : \frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = u^{3} + \frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

Diviser les coefficients directeurs

u^{4} + u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

et le diviseur

u - 1 : \frac{u ^{4}}{u} = u^{3}

Quotient = u^{3}

Multiplier

u - 1

par

u^{3} : u^{4} - u^{3}

Soustraire

u^{4} - u^{3}

u^{4} + u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

pour obtenir un nouveau reste

Reste = 2 u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

Par conséquent

\frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = u^{3} + \frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

= u^{3} + \frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

Diviser

\frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} : \frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

Diviser les coefficients directeurs

2 u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

et le diviseur

u - 1 : \frac{2 u ^{3}}{u} = 2 u^{2}

Quotient = 2 u^{2}

Multiplier

u - 1

par

2 u^{2} : 2 u^{3} - 2 u^{2}

Soustraire

2 u^{3} - 2 u^{2}

2 u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

pour obtenir un nouveau reste

Reste = - 2 u^{2} + u + 1

Par conséquent

\frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

= u^{3} + 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

Diviser

\frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1} : \frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = - 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

Diviser les coefficients directeurs

- 2 u^{2} + u + 1

et le diviseur

u - 1 : \frac{- 2 u ^{2}}{u} = - 2 u

Quotient = - 2 u

Multiplier

u - 1

par

- 2 u : - 2 u^{2} + 2 u

Soustraire

- 2 u^{2} + 2 u

- 2 u^{2} + u + 1

pour obtenir un nouveau reste

Reste = - u + 1

Par conséquent

\frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = - 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

= u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

Diviser

\frac{- u + 1}{u - 1} : \frac{- u + 1}{u - 1} = - 1

Diviser les coefficients directeurs

- u + 1

et le diviseur

u - 1 : \frac{- u}{u} = - 1

Quotient = - 1

Multiplier

u - 1

par

- 1 : - u + 1

Soustraire

- u + 1

- u + 1

pour obtenir un nouveau reste

Reste = 0

Par conséquent

\frac{- u + 1}{u - 1} = - 1

= u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

= u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

Factoriser

u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1 : (u - 1) (u^{2} + 3 u + 1)

u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

Utiliser le théorème de la racine rationnelle

a_{0} = 1, a_{n} = 1

Les diviseurs de

a_{0} : 1,

Les diviseurs de

a_{n} : 1

Par conséquent, vérifier les nombres rationnels suivants :

\pm \frac{1}{1}

\frac{1}{1}

est une racine de l'expression, donc factorise

u - 1

= (u - 1) \frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} = u^{2} + 3 u + 1

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

Diviser

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} : \frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} = u^{2} + \frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

Diviser les coefficients directeurs

u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

et le diviseur

u - 1 : \frac{u ^{3}}{u} = u^{2}

Quotient = u^{2}

Multiplier

u - 1

par

u^{2} : u^{3} - u^{2}

Soustraire

u^{3} - u^{2}

u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

pour obtenir un nouveau reste

Reste = 3 u^{2} - 2 u - 1

Par conséquent

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} = u^{2} + \frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

= u^{2} + \frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

Diviser

\frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} : \frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} = 3 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Diviser les coefficients directeurs

3 u^{2} - 2 u - 1

et le diviseur

u - 1 : \frac{3 u ^{2}}{u} = 3 u

Quotient = 3 u

Multiplier

u - 1

par

3 u : 3 u^{2} - 3 u

Soustraire

3 u^{2} - 3 u

3 u^{2} - 2 u - 1

pour obtenir un nouveau reste

Reste = u - 1

Par conséquent

\frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} = 3 u + \frac{u - 1}{u - 1}

= u^{2} + 3 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Diviser

\frac{u - 1}{u - 1} : \frac{u - 1}{u - 1} = 1

Diviser les coefficients directeurs

u - 1

et le diviseur

u - 1 : \frac{u}{u} = 1

Quotient = 1

Multiplier

u - 1

par

1 : u - 1

Soustraire

u - 1

u - 1

pour obtenir un nouveau reste

Reste = 0

Par conséquent

\frac{u - 1}{u - 1} = 1

= u^{2} + 3 u + 1

= u^{2} + 3 u + 1

= (u - 1) (u^{2} + 3 u + 1)

= (u - 1) (u - 1) (u^{2} + 3 u + 1)

Redéfinir

= (u - 1)^{2} (u^{2} + 3 u + 1)

(u - 1)^{2} (u^{2} + 3 u + 1) = 0

En utilisant le principe du facteur zéro : Si

ab = 0

alors

a = 0

b = 0

u - 1 = 0 or u^{2} + 3 u + 1 = 0

Résoudre

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

u - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

u = 1

u = 1

Résoudre

u^{2} + 3 u + 1 = 0 : u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

u^{2} + 3 u + 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

u^{2} + 3 u + 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 1, b = 3, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 5

3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 3^{2} - 4

3^{2} = 9

= 9 - 4

Soustraire les nombres :

9 - 4 = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 5}{2 \cdot 1}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- 3 + 5}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 3 - 5}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 3 + 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 3 + 5}{2}

\frac{- 3 + 5}{2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 3 + 5}{2}

u = \frac{- 3 - 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 3 - 5}{2}

\frac{- 3 - 5}{2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 3 - 5}{2}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

Les solutions sont

u = 1, u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

u = 1, u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

Vérifier les solutions

Trouver les points non définis (singularité):

u = 0

Prendre le(s) dénominateur(s) de

- 4 + u + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u}

et le comparer à zéro

Résoudre

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Appliquer la règle

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

u = 0

Les points suivants ne sont pas définis

u = 0

Combiner des points indéfinis avec des solutions :

u = 1, u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

Remplacer

u = cot (x)

cot (x) = 1, cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2}, cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2}

cot (x) = 1, cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2}, cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2}

cot (x) = 1 : x = \frac{π}{4} + πn

cot (x) = 1

Solutions générales pour

cot (x) = 1

Tableau de périodicité

cot (x)

avec un cycle

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cot (x) \mp \infty 31 \frac{3}{3} 0 - \frac{3}{3} - 1 - 3

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2} : x = arccot (\frac{- 3 + 5}{2}) + πn

cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2}

Solutions générales pour

cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2}

cot (x) = - a \Rightarrow x = arccot (- a) + πn

x = arccot (\frac{- 3 + 5}{2}) + πn

x = arccot (\frac{- 3 + 5}{2}) + πn

cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2} : x = arccot (\frac{- 3 - 5}{2}) + πn

cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2}

Solutions générales pour

cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2}

cot (x) = - a \Rightarrow x = arccot (- a) + πn

x = arccot (\frac{- 3 - 5}{2}) + πn

x = arccot (\frac{- 3 - 5}{2}) + πn

Combiner toutes les solutions

x = \frac{π}{4} + πn, x = arccot (\frac{- 3 + 5}{2}) + πn, x = arccot (\frac{- 3 - 5}{2}) + πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = \frac{π}{4} + πn, x = 1.93566 \dots + πn, x = 2.77672 \dots + πn

Graphe

Exemples populaires

tan(a)=0

tan (a) = 0

cos^2(x)+3|cos(x)|-1=0

cos^{2} (x) + 3 ∣ cos (x) ∣ - 1 = 0

cos^5(x)=sin(75)

cos^{5} (x) = sin (7 5^{\circ})

csc^2(x)=sec(x)

csc^{2} (x) = sec (x)

(2cos(x)-sin^2(x))=1+cos^2(x)

(2 cos (x) - sin^{2} (x)) = 1 + cos^{2} (x)