解答
3sin4(x)+cos4(x)=1
解答
x=2πn,x=π+2πn,x=0.78539…+2πn,x=2π−0.78539…+2πn,x=2.35619…+2πn,x=−2.35619…+2πn
+1
度数
x=0∘+360∘n,x=180∘+360∘n,x=45∘+360∘n,x=315∘+360∘n,x=135∘+360∘n,x=−135∘+360∘n求解步骤
3sin4(x)+cos4(x)=1
两边减去 13sin4(x)+cos4(x)−1=0
使用指数法则: ab=a2ab−2−1+cos4(x)+3sin2(x)sin2(x)=0
使用三角恒等式改写
−1+cos4(x)+3sin2(x)sin2(x)
使用毕达哥拉斯恒等式: cos2(x)+sin2(x)=1sin2(x)=1−cos2(x)=−1+cos4(x)+3(1−cos2(x))(1−cos2(x))
化简 −1+cos4(x)+3(1−cos2(x))(1−cos2(x)):4cos4(x)−6cos2(x)+2
−1+cos4(x)+3(1−cos2(x))(1−cos2(x))
3(1−cos2(x))(1−cos2(x))=3(1−cos2(x))2
3(1−cos2(x))(1−cos2(x))
使用指数法则: ab⋅ac=ab+c(1−cos2(x))(1−cos2(x))=(1−cos2(x))1+1=3(1−cos2(x))1+1
数字相加:1+1=2=3(1−cos2(x))2
=−1+cos4(x)+3(−cos2(x)+1)2
(1−cos2(x))2:1−2cos2(x)+cos4(x)
使用完全平方公式: (a−b)2=a2−2ab+b2a=1,b=cos2(x)
=12−2⋅1⋅cos2(x)+(cos2(x))2
化简 12−2⋅1⋅cos2(x)+(cos2(x))2:1−2cos2(x)+cos4(x)
12−2⋅1⋅cos2(x)+(cos2(x))2
使用法则 1a=112=1=1−2⋅1⋅cos2(x)+(cos2(x))2
2⋅1⋅cos2(x)=2cos2(x)
2⋅1⋅cos2(x)
数字相乘:2⋅1=2=2cos2(x)
(cos2(x))2=cos4(x)
(cos2(x))2
使用指数法则: (ab)c=abc=cos2⋅2(x)
数字相乘:2⋅2=4=cos4(x)
=1−2cos2(x)+cos4(x)
=1−2cos2(x)+cos4(x)
=−1+cos4(x)+3(1−2cos2(x)+cos4(x))
乘开 3(1−2cos2(x)+cos4(x)):3−6cos2(x)+3cos4(x)
3(1−2cos2(x)+cos4(x))
打开括号=3⋅1+3(−2cos2(x))+3cos4(x)
使用加减运算法则+(−a)=−a=3⋅1−3⋅2cos2(x)+3cos4(x)
化简 3⋅1−3⋅2cos2(x)+3cos4(x):3−6cos2(x)+3cos4(x)
3⋅1−3⋅2cos2(x)+3cos4(x)
数字相乘:3⋅1=3=3−3⋅2cos2(x)+3cos4(x)
数字相乘:3⋅2=6=3−6cos2(x)+3cos4(x)
=3−6cos2(x)+3cos4(x)
=−1+cos4(x)+3−6cos2(x)+3cos4(x)
化简 −1+cos4(x)+3−6cos2(x)+3cos4(x):4cos4(x)−6cos2(x)+2
−1+cos4(x)+3−6cos2(x)+3cos4(x)
对同类项分组=cos4(x)−6cos2(x)+3cos4(x)−1+3
同类项相加:cos4(x)+3cos4(x)=4cos4(x)=4cos4(x)−6cos2(x)−1+3
数字相加/相减:−1+3=2=4cos4(x)−6cos2(x)+2
=4cos4(x)−6cos2(x)+2
=4cos4(x)−6cos2(x)+2
2+4cos4(x)−6cos2(x)=0
用替代法求解
2+4cos4(x)−6cos2(x)=0
令:cos(x)=u2+4u4−6u2=0
2+4u4−6u2=0:u=1,u=−1,u=21,u=−21
2+4u4−6u2=0
改写成标准形式 anxn+…+a1x+a0=04u4−6u2+2=0
用v=u2 和 v2=u4改写方程式4v2−6v+2=0
解 4v2−6v+2=0:v=1,v=21
4v2−6v+2=0
使用求根公式求解
4v2−6v+2=0
二次方程求根公式:
若 a=4,b=−6,c=2v1,2=2⋅4−(−6)±(−6)2−4⋅4⋅2
v1,2=2⋅4−(−6)±(−6)2−4⋅4⋅2
(−6)2−4⋅4⋅2=2
(−6)2−4⋅4⋅2
使用指数法则: (−a)n=an,若 n 是偶数(−6)2=62=62−4⋅4⋅2
数字相乘:4⋅4⋅2=32=62−32
62=36=36−32
数字相减:36−32=4=4
因式分解数字: 4=22=22
使用根式运算法则: nan=a22=2=2
v1,2=2⋅4−(−6)±2
将解分隔开v1=2⋅4−(−6)+2,v2=2⋅4−(−6)−2
v=2⋅4−(−6)+2:1
2⋅4−(−6)+2
使用法则 −(−a)=a=2⋅46+2
数字相加:6+2=8=2⋅48
数字相乘:2⋅4=8=88
使用法则 aa=1=1
v=2⋅4−(−6)−2:21
2⋅4−(−6)−2
使用法则 −(−a)=a=2⋅46−2
数字相减:6−2=4=2⋅44
数字相乘:2⋅4=8=84
约分:4=21
二次方程组的解是:v=1,v=21
v=1,v=21
代回 v=u2，求解 u
解 u2=1:u=1,u=−1
u2=1
对于 x2=f(a) 解为 x=f(a),−f(a)
u=1,u=−1
1=1
1
使用法则 1=1=1
−1=−1
−1
使用法则 1=1=−1
u=1,u=−1
解 u2=21:u=21,u=−21
u2=21
对于 x2=f(a) 解为 x=f(a),−f(a)
u=21,u=−21
解为
u=1,u=−1,u=21,u=−21
u=cos(x)代回cos(x)=1,cos(x)=−1,cos(x)=21,cos(x)=−21
cos(x)=1,cos(x)=−1,cos(x)=21,cos(x)=−21
cos(x)=1:x=2πn
cos(x)=1
cos(x)=1的通解
cos(x) 周期表（周期为 2πn）：
x06π4π3π2π32π43π65πcos(x)12322210−21−22−23xπ67π45π34π23π35π47π611πcos(x)−1−23−22−210212223
x=0+2πn
x=0+2πn
解 x=0+2πn:x=2πn
x=0+2πn
0+2πn=2πnx=2πn
x=2πn
cos(x)=−1:x=π+2πn
cos(x)=−1
cos(x)=−1的通解
cos(x) 周期表（周期为 2πn）：
x06π4π3π2π32π43π65πcos(x)12322210−21−22−23xπ67π45π34π23π35π47π611πcos(x)−1−23−22−210212223
x=π+2πn
x=π+2πn
cos(x)=21:x=arccos(21)+2πn,x=2π−arccos(21)+2πn
cos(x)=21
使用反三角函数性质
cos(x)=21
cos(x)=21的通解cos(x)=a⇒x=arccos(a)+2πn,x=2π−arccos(a)+2πnx=arccos(21)+2πn,x=2π−arccos(21)+2πn
x=arccos(21)+2πn,x=2π−arccos(21)+2πn
cos(x)=−21:x=arccos(−21)+2πn,x=−arccos(−21)+2πn
cos(x)=−21
使用反三角函数性质
cos(x)=−21
cos(x)=−21的通解cos(x)=−a⇒x=arccos(−a)+2πn,x=−arccos(−a)+2πnx=arccos(−21)+2πn,x=−arccos(−21)+2πn
x=arccos(−21)+2πn,x=−arccos(−21)+2πn
合并所有解x=2πn,x=π+2πn,x=arccos(21)+2πn,x=2π−arccos(21)+2πn,x=arccos(−21)+2πn,x=−arccos(−21)+2πn
以小数形式表示解x=2πn,x=π+2πn,x=0.78539…+2πn,x=2π−0.78539…+2πn,x=2.35619…+2πn,x=−2.35619…+2πn