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integral of (4x^2)/(sqrt(9-x^2))

Lösung

\int \frac{4 x ^{2}}{9 - x ^{2}} d x

18 (arcsin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} x))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{4 x ^{2}}{9 - x ^{2}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int \frac{x ^{2}}{9 - x ^{2}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= 4 \cdot \int 9 sin^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot 9 \cdot \int sin^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 4 \cdot 9 \cdot \int \frac{1 - cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 - cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 4 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u - \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= 4 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{3} x)

ein

= 4 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} x)))

Vereinfache

4 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} x))) : 18 (arcsin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} x)))

= 18 (arcsin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 18 (arcsin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} x))) + C

\int \frac{( 1 + ln ( x ) ) ^{2}}{x} d x

\int 4^{4 x - 1} d x

\int \frac{2 x ^{6} + 1}{2 x ^{7} + 7 x} d x

\int (x - 2)^{10} d x

\int tan (3 x) cot (3 x) sec (3 x) csc (3 x) d x