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integral of (a^3)/(x^2+a^2)

Lösung

\int \frac{a ^{3}}{x ^{2} + a ^{2}} d x

Lösung

a^{2} arctan (\frac{x}{a}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{a ^{3}}{x ^{2} + a ^{2}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= a^{3} \cdot \int \frac{1}{x ^{2} + a ^{2}} d x

Wende integrale Substitution an

= a^{3} \cdot \int \frac{1}{a ( u ^{2} + 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= a^{3} \frac{1}{a} \cdot \int \frac{1}{u ^{2} + 1} d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{u ^{2} + 1} d u = arctan (u)

= a^{3} \frac{1}{a} arctan (u)

Setze in

u = \frac{x}{a}

ein

= a^{3} \frac{1}{a} arctan (\frac{x}{a})

Vereinfache

a^{3} \frac{1}{a} arctan (\frac{x}{a}) : a^{2} arctan (\frac{x}{a})

= a^{2} arctan (\frac{x}{a})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= a^{2} arctan (\frac{x}{a}) + C

Graph

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