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sin(2θ)+sin(θ)=0,0<= θ<2pi

Lösung

sin (2 θ) + sin (θ) = 0, 0 \leq θ < 2 π

θ = 0, θ = π, θ = \frac{2 π}{3}, θ = \frac{4 π}{3}

Grad

θ = 0^{\circ}, θ = 18 0^{\circ}, θ = 12 0^{\circ}, θ = 24 0^{\circ}

Schritte zur Lösung

sin (2 θ) + sin (θ) = 0, 0 \leq θ < 2 π

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (2 θ) + sin (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 2 sin (θ) cos (θ) + sin (θ)

sin (θ) + 2 cos (θ) sin (θ) = 0

Faktorisiere

sin (θ) + 2 cos (θ) sin (θ) : sin (θ) (2 cos (θ) + 1)

sin (θ) + 2 cos (θ) sin (θ)

Klammere gleiche Terme aus

sin (θ)

= sin (θ) (1 + 2 cos (θ))

sin (θ) (2 cos (θ) + 1) = 0

Löse jeden Teil einzeln

sin (θ) = 0 or 2 cos (θ) + 1 = 0

sin (θ) = 0, 0 \leq θ < 2 π : θ = 0, θ = π

sin (θ) = 0, 0 \leq θ < 2 π

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

Löse

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq θ < 2 π

θ = 0, θ = π

2 cos (θ) + 1 = 0, 0 \leq θ < 2 π : θ = \frac{2 π}{3}, θ = \frac{4 π}{3}

2 cos (θ) + 1 = 0, 0 \leq θ < 2 π

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 cos (θ) + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

2 cos (θ) + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

2 cos (θ) = - 1

2 cos (θ) = - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 cos (θ) = - 1