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Beliebt Trigonometrie >

7sin(x)=cos(x)-4

Lösung

7 sin (x) = cos (x) - 4

Lösung

x = - 2.39843 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.45936 \dots + 2 πn

Grad

x = - 137.41999 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 333.68020 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

7 sin (x) = cos (x) - 4

Quadriere beide Seiten

(7 sin (x))^{2} = (cos (x) - 4)^{2}

Subtrahiere

(cos (x) - 4)^{2}

von beiden Seiten

49 sin^{2} (x) - cos^{2} (x) + 8 cos (x) - 16 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 16 - cos^{2} (x) + 49 sin^{2} (x) + 8 cos (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 16 - cos^{2} (x) + 49 (1 - cos^{2} (x)) + 8 cos (x)

Vereinfache

- 16 - cos^{2} (x) + 49 (1 - cos^{2} (x)) + 8 cos (x) : 8 cos (x) - 50 cos^{2} (x) + 33

- 16 - cos^{2} (x) + 49 (1 - cos^{2} (x)) + 8 cos (x)

Multipliziere aus

49 (1 - cos^{2} (x)) : 49 - 49 cos^{2} (x)

49 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 49, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 49 \cdot 1 - 49 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

49 \cdot 1 = 49

= 49 - 49 cos^{2} (x)

= - 16 - cos^{2} (x) + 49 - 49 cos^{2} (x) + 8 cos (x)

Vereinfache

- 16 - cos^{2} (x) + 49 - 49 cos^{2} (x) + 8 cos (x) : 8 cos (x) - 50 cos^{2} (x) + 33

- 16 - cos^{2} (x) + 49 - 49 cos^{2} (x) + 8 cos (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - cos^{2} (x) - 49 cos^{2} (x) + 8 cos (x) - 16 + 49

Addiere gleiche Elemente:

- cos^{2} (x) - 49 cos^{2} (x) = - 50 cos^{2} (x)

= - 50 cos^{2} (x) + 8 cos (x) - 16 + 49

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 16 + 49 = 33

= 8 cos (x) - 50 cos^{2} (x) + 33

= 8 cos (x) - 50 cos^{2} (x) + 33

= 8 cos (x) - 50 cos^{2} (x) + 33

33 - 50 cos^{2} (x) + 8 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

33 - 50 cos^{2} (x) + 8 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

33 - 50 u^{2} + 8 u = 0

33 - 50 u^{2} + 8 u = 0 : u = - \frac{- 4 + 7 34}{50}, u = \frac{4 + 7 34}{50}

33 - 50 u^{2} + 8 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 50 u^{2} + 8 u + 33 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 50 u^{2} + 8 u + 33 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 50, b = 8, c = 33

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 ( - 50 ) \cdot 33}{2 ( - 50 )}

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 ( - 50 ) \cdot 33}{2 ( - 50 )}

8^{2} - 4 (- 50) \cdot 33 = 1434

8^{2} - 4 (- 50) \cdot 33

Wende Regel an

- (- a) = a

= 8^{2} + 4 \cdot 50 \cdot 33

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 50 \cdot 33 = 6600

= 8^{2} + 6600

8^{2} = 64

= 64 + 6600

Addiere die Zahlen:

64 + 6600 = 6664

= 6664

Primfaktorzerlegung von

6664 : 2^{3} \cdot 7^{2} \cdot 17

6664

6664

ist durch

26664 = 3332 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 3332

3332

ist durch

23332 = 1666 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 1666

1666

ist durch

21666 = 833 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 833

833

ist durch

7833 = 119 \cdot 7

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 119

119

ist durch

7119 = 17 \cdot 7

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 17

2, 7, 17

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 17

= 2^{3} \cdot 7^{2} \cdot 17

= 2^{3} \cdot 7^{2} \cdot 17

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 7^{2} \cdot 2 \cdot 17

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{2} 7^{2} 2 \cdot 17

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 7^{2} 2 \cdot 17

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

7^{2} = 7

= 2 \cdot 7 2 \cdot 17

Fasse zusammen

= 1434

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 14 34}{2 ( - 50 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 8 + 14 34}{2 ( - 50 )}, u_{2} = \frac{- 8 - 14 34}{2 ( - 50 )}

u = \frac{- 8 + 14 34}{2 ( - 50 )} : - \frac{- 4 + 7 34}{50}

\frac{- 8 + 14 34}{2 ( - 50 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 8 + 14 34}{- 2 \cdot 50}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 50 = 100

= \frac{- 8 + 14 34}{- 100}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 8 + 14 34}{100}

Streiche

\frac{- 8 + 14 34}{100} : \frac{7 34 - 4}{50}

\frac{- 8 + 14 34}{100}

Faktorisiere

- 8 + 1434 : 2 (- 4 + 734)

- 8 + 1434

Schreibe um

= - 2 \cdot 4 + 2 \cdot 734

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 4 + 734)

= \frac{2 ( - 4 + 7 34 )}{100}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{- 4 + 7 34}{50}

= - \frac{7 34 - 4}{50}

= - \frac{- 4 + 7 34}{50}

u = \frac{- 8 - 14 34}{2 ( - 50 )} : \frac{4 + 7 34}{50}

\frac{- 8 - 14 34}{2 ( - 50 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 8 - 14 34}{- 2 \cdot 50}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 50 = 100

= \frac{- 8 - 14 34}{- 100}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 8 - 1434 = - (8 + 1434)

= \frac{8 + 14 34}{100}

Faktorisiere

8 + 1434 : 2 (4 + 734)

8 + 1434

Schreibe um

= 2 \cdot 4 + 2 \cdot 734

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (4 + 734)

= \frac{2 ( 4 + 7 34 )}{100}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{4 + 7 34}{50}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{- 4 + 7 34}{50}, u = \frac{4 + 7 34}{50}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{- 4 + 7 34}{50}, cos (x) = \frac{4 + 7 34}{50}

cos (x) = - \frac{- 4 + 7 34}{50}, cos (x) = \frac{4 + 7 34}{50}

cos (x) = - \frac{- 4 + 7 34}{50} : x = arccos (- \frac{- 4 + 7 34}{50}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 4 + 7 34}{50}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{- 4 + 7 34}{50}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{- 4 + 7 34}{50}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{- 4 + 7 34}{50}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 4 + 7 34}{50}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 4 + 7 34}{50}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 4 + 7 34}{50}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 4 + 7 34}{50}) + 2 πn

cos (x) = \frac{4 + 7 34}{50} : x = arccos (\frac{4 + 7 34}{50}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{4 + 7 34}{50}) + 2 πn

cos (x) = \frac{4 + 7 34}{50}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{4 + 7 34}{50}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{4 + 7 34}{50}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{4 + 7 34}{50}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{4 + 7 34}{50}) + 2 πn

x = arccos (\frac{4 + 7 34}{50}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{4 + 7 34}{50}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (- \frac{- 4 + 7 34}{50}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 4 + 7 34}{50}) + 2 πn, x = arccos (\frac{4 + 7 34}{50}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{4 + 7 34}{50}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

7 sin (x) = cos (x) - 4

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (- \frac{- 4 + 7 34}{50}) + 2 πn :

Falsch

arccos (- \frac{- 4 + 7 34}{50}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (- \frac{- 4 + 7 34}{50}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (- \frac{- 4 + 7 34}{50}) + 2 π 1

7 sin (x) = cos (x) - 4

ein, um zu lösen

7 sin (arccos (- \frac{- 4 + 7 34}{50}) + 2 π 1) = cos (arccos (- \frac{- 4 + 7 34}{50}) + 2 π 1) - 4

Fasse zusammen

4.73633 \dots = - 4.73633 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

- arccos (- \frac{- 4 + 7 34}{50}) + 2 πn :

Wahr

- arccos (- \frac{- 4 + 7 34}{50}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

- arccos (- \frac{- 4 + 7 34}{50}) + 2 π 1

Setze

x = - arccos (- \frac{- 4 + 7 34}{50}) + 2 π 1

7 sin (x) = cos (x) - 4

ein, um zu lösen

7 sin (- arccos (- \frac{- 4 + 7 34}{50}) + 2 π 1) = cos (- arccos (- \frac{- 4 + 7 34}{50}) + 2 π 1) - 4

Fasse zusammen

- 4.73633 \dots = - 4.73633 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{4 + 7 34}{50}) + 2 πn :

Falsch

arccos (\frac{4 + 7 34}{50}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{4 + 7 34}{50}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (\frac{4 + 7 34}{50}) + 2 π 1

7 sin (x) = cos (x) - 4

ein, um zu lösen

7 sin (arccos (\frac{4 + 7 34}{50}) + 2 π 1) = cos (arccos (\frac{4 + 7 34}{50}) + 2 π 1) - 4

Fasse zusammen

3.10366 \dots = - 3.10366 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{4 + 7 34}{50}) + 2 πn :

Wahr

2 π - arccos (\frac{4 + 7 34}{50}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{4 + 7 34}{50}) + 2 π 1

Setze

x = 2 π - arccos (\frac{4 + 7 34}{50}) + 2 π 1

7 sin (x) = cos (x) - 4

ein, um zu lösen

7 sin (2 π - arccos (\frac{4 + 7 34}{50}) + 2 π 1) = cos (2 π - arccos (\frac{4 + 7 34}{50}) + 2 π 1) - 4

Fasse zusammen

- 3.10366 \dots = - 3.10366 \dots

\Rightarrow Wahr

x = - arccos (- \frac{- 4 + 7 34}{50}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{4 + 7 34}{50}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = - 2.39843 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.45936 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

5sin^2(θ)-11sin(θ)+2=0

5 sin^{2} (θ) - 11 sin (θ) + 2 = 0

tan^2(θ)+3sec(θ)=-3

tan^{2} (θ) + 3 sec (θ) = - 3

cos^2(x)-sin^2(x)=1-sin^2(x)

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

sin(2x)cos(x)+sin(x)=0

sin (2 x) cos (x) + sin (x) = 0

cos(2x)+cos(x)=1+sin(2x)-sin(x)

cos (2 x) + cos (x) = 1 + sin (2 x) - sin (x)