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beweisen cos^2(x/2)= 1/2+1/2 cos(x)

Lösung

beweisen

cos^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

cos^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (x)

Angenommen:

u = \frac{x}{2}

cos^{2} (u) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (2 u)

Beweise

cos^{2} (u) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (2 u) :

Wahr

cos^{2} (u) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (2 u)

Manipuliere die rechte Seite

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (2 u)

Faktorisiere

\frac{1}{2} + cos (2 u) \frac{1}{2} : \frac{1}{2} (1 + cos (2 u))

\frac{1}{2} + cos (2 u) \frac{1}{2}

Klammere gleiche Terme aus

\frac{1}{2}

= \frac{1}{2} (1 + cos (2 u))

= (1 + cos (2 u)) \frac{1}{2}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(1 + cos (2 u)) \frac{1}{2}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= (1 + 2 cos^{2} (u) - 1) \frac{1}{2}

Vereinfache

(1 + 2 cos^{2} (u) - 1) \frac{1}{2} : cos^{2} (u)

(1 + 2 cos^{2} (u) - 1) \frac{1}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot ( 1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1 )}{2}

1 \cdot (1 + 2 cos^{2} (u) - 1) = 2 cos^{2} (u)

1 \cdot (1 + 2 cos^{2} (u) - 1)

Vereinfache

1 + 2 cos^{2} (u) - 1 : 2 cos^{2} (u)

1 + 2 cos^{2} (u) - 1

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos^{2} (u) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (u)

= 1 \cdot 2 cos^{2} (u)

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= 2 cos^{2} (u)

= \frac{2 cos ^{2} ( u )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= cos^{2} (u)

= cos^{2} (u)

= cos^{2} (u)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Deshalb

cos^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e 2 sin (x) - cot (x) = - cot (x) \cdot 2 cot (x)

p ro v e 4 cos^{3} (a) - 3 cos (a) = cos (3 a)

p ro v e sin^{2} (θ) + (\frac{1}{2})^{2} = 1

p ro v e sin (θ) (cot (θ) + tan (θ)) = tan (θ)

p ro v e - csc^{2} (x) = \frac{sec ( x )}{2 sin ( x )}