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provar (1+sec(θ))(1-cos(θ))=sec(θ)-cos(θ)

Solução

provar

(1 + sec (θ)) (1 - cos (θ)) = sec (θ) - cos (θ)

Verdadeiro

Passos da solução

(1 + sec (θ)) (1 - cos (θ)) = sec (θ) - cos (θ)

Manipular o lado direito

(1 + sec (θ)) (1 - cos (θ))

Expresar com seno, cosseno

(1 + sec (θ)) (1 - cos (θ))

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (1 + \frac{1}{cos ( θ )}) (1 - cos (θ))

Simplificar

(1 + \frac{1}{cos ( θ )}) (1 - cos (θ)) : \frac{( cos ( θ ) + 1 ) ( 1 - cos ( θ ) )}{cos ( θ )}

(1 + \frac{1}{cos ( θ )}) (1 - cos (θ))

Simplificar

1 + \frac{1}{cos ( θ )}

em uma fração:

\frac{cos ( θ ) + 1}{cos ( θ )}

1 + \frac{1}{cos ( θ )}

Converter para fração:

1 = \frac{1 cos ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{1 \cdot cos ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{1}{cos ( θ )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( θ ) + 1}{cos ( θ )}

Multiplicar:

1 \cdot cos (θ) = cos (θ)

= \frac{cos ( θ ) + 1}{cos ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + 1}{cos ( θ )} (- cos (θ) + 1)

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ( θ ) + 1 ) ( 1 - cos ( θ ) )}{cos ( θ )}

= \frac{( cos ( θ ) + 1 ) ( 1 - cos ( θ ) )}{cos ( θ )}

= \frac{( 1 + cos ( θ ) ) ( 1 - cos ( θ ) )}{cos ( θ )}

Expandir

(1 + cos (θ)) (1 - cos (θ)) : 1 - cos^{2} (θ)

(1 + cos (θ)) (1 - cos (θ))

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = cos (θ)

= 1^{2} - cos^{2} (θ)

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - cos^{2} (θ)

= \frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

Manipular o lado esquerdo

sec (θ) - cos (θ)

Expresar com seno, cosseno

- cos (θ) + sec (θ)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= - cos (θ) + \frac{1}{cos ( θ )}

Simplificar

- cos (θ) + \frac{1}{cos ( θ )} : \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ( θ )}

- cos (θ) + \frac{1}{cos ( θ )}

Converter para fração:

cos (θ) = \frac{cos ( θ ) cos ( θ )}{cos ( θ )}

= - \frac{cos ( θ ) cos ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{1}{cos ( θ )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ( θ ) cos ( θ ) + 1}{cos ( θ )}

- cos (θ) cos (θ) + 1 = - cos^{2} (θ) + 1

- cos (θ) cos (θ) + 1

cos (θ) cos (θ) = cos^{2} (θ)

cos (θ) cos (θ)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (θ) cos (θ) = cos^{1 + 1} (θ)

= cos^{1 + 1} (θ)

Somar:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (θ)

= - cos^{2} (θ) + 1

= \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ( θ )}

= \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ( θ )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e 6 cos^{2} (x) - 6 sin^{2} (x) = 6 - 12 sin^{2} (x)

p ro v e cos^{8} (x) = sin^{5} (x) cos^{3} (x)

p ro v e 2 sec (2 x) = tan (\frac{π}{4} + x) + tan (\frac{π}{4} - x)

p ro v e sin (x) - csc (x) = - (cos (x)) (cot (x))

p ro v e cos (θ) = sin (3 θ + 62)