English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

2cos^2(x)+cos(x)-1>= 0

Решение

2 cos^{2} (x) + cos (x) - 1 \geq 0

Решение

- \frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or x = π + 2 πn

Обозначение интервала

[- \frac{π}{3} + 2 πn, \frac{π}{3} + 2 πn] \cup x = π + 2 πn

десятичными цифрами

- 1.04719 \dots + 2 πn \leq x \leq 1.04719 \dots + 2 πn or x = 3.14159 \dots + 2 πn

Шаги решения

2 cos^{2} (x) + cos (x) - 1 \geq 0

Допустим:

u = cos (x)

2 u^{2} + u - 1 \geq 0

2 u^{2} + u - 1 \geq 0 : u \leq - 1 or u \geq \frac{1}{2}

2 u^{2} + u - 1 \geq 0

коэффициент

2 u^{2} + u - 1 : (2 u - 1) (u + 1)

2 u^{2} + u - 1

Разбейте выражение на группы

2 u^{2} + u - 1

Определение

Множители

2 : 1, 2

2

Делители (множители)

Найдите простые множители

2 : 2

2

2

является простым числом, поэтому разложение на множители невозможно

= 2

Добавьте 1

1

Факторы

2

1, 2

Отрицательные коэффициенты

2 : - 1, - 2

Умножьте коэффициенты на

- 1

чтобы получить отрицательные коэффициенты

- 1, - 2

Для каждых двух множителей таких, как

u * v = - 2,

проверьте, если

u + v = 1

Проверьте

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

НеверноПроверьте

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

Верно

u = 2, v = - 1

Сгруппируйте в

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

= (2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

Вынести

u

из

2 u^{2} - u : u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

Примените правило возведения в степень:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

Убрать общее значение

u

= u (2 u - 1)

= u (2 u - 1) + (2 u - 1)

Убрать общее значение

2 u - 1

= (2 u - 1) (u + 1)

(2 u - 1) (u + 1) \geq 0

Определите интервалы

Найдите знаки множителей

(2 u - 1) (u + 1)

Найдите признаки

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Переместите

1

вправо

2 u - 1 = 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

После упрощения получаем

2 u = 1

2 u = 1

Разделите обе стороны на

2

2 u = 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

После упрощения получаем

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Переместите

1

вправо

2 u - 1 < 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

После упрощения получаем

2 u < 1

2 u < 1

Разделите обе стороны на

2

2 u < 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

После упрощения получаем

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Переместите

1

вправо

2 u - 1 > 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

После упрощения получаем

2 u > 1

2 u > 1

Разделите обе стороны на

2

2 u > 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

После упрощения получаем

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Найдите признаки

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Переместите

1

вправо

u + 1 = 0

Вычтите

1

с обеих сторон

u + 1 - 1 = 0 - 1

После упрощения получаем

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

Переместите

1

вправо

u + 1 < 0

Вычтите

1

с обеих сторон

u + 1 - 1 < 0 - 1

После упрощения получаем

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

Переместите

1

вправо

u + 1 > 0

Вычтите

1

с обеих сторон

u + 1 - 1 > 0 - 1

После упрощения получаем

u > - 1

u > - 1

Свести в таблицу:

2 u - 1 u + 1 (2 u - 1) (u + 1) u < - 1 - - + u = - 1 - 00 - 1 < u < \frac{1}{2} - + - u = \frac{1}{2} 0 + 0 u > \frac{1}{2} + + +

Определите интервалы, удовлетворяющие требуемому условию:

\geq 0

u < - 1 or u = - 1 or u = \frac{1}{2} or u > \frac{1}{2}

Объединить Перекрывающиеся Интервалы

u \leq - 1 or u = \frac{1}{2} or u > \frac{1}{2}

Объединение двух интервалов — это набор чисел, которые находятся либо в интервале

u < - 1

либо

u = - 1

u \leq - 1

Объединение двух интервалов — это набор чисел, которые находятся либо в интервале

u \leq - 1

либо

u = \frac{1}{2}

u \leq - 1 or u = \frac{1}{2}

Объединение двух интервалов — это набор чисел, которые находятся либо в интервале

u \leq - 1 or u = \frac{1}{2}

либо

u > \frac{1}{2}

u \leq - 1 or u \geq \frac{1}{2}

u \leq - 1 or u \geq \frac{1}{2}

u \leq - 1 or u \geq \frac{1}{2}

u \leq - 1 or u \geq \frac{1}{2}

Делаем обратную замену

u = cos (x)

cos (x) \leq - 1 or cos (x) \geq \frac{1}{2}

cos (x) \leq - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) \leq - 1

Для

cos (x) \leq a

, если

- 1 < a < 1

, то

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (- 1) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (- 1) + 2 πn

Упростите

arccos (- 1) : π

arccos (- 1)

Используйте следующее тривиальное тождество:

arccos (- 1) = π

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= π

Упростите

2 π - arccos (- 1) : π

2 π - arccos (- 1)

Используйте следующее тривиальное тождество:

arccos (- 1) = π

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - π

Добавьте похожие элементы:

2 π - π = π

= π

π + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

После упрощения получаем

x = π + 2 πn

cos (x) \geq \frac{1}{2} : - \frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

cos (x) \geq \frac{1}{2}

Для

cos (x) \geq a

, если

- 1 < a < 1

, то

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

Упростите

- arccos (\frac{1}{2}) : - \frac{π}{3}

- arccos (\frac{1}{2})

Используйте следующее тривиальное тождество:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{3}

Упростите

arccos (\frac{1}{2}) : \frac{π}{3}

arccos (\frac{1}{2})

Используйте следующее тривиальное тождество:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

- \frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

Объедините интервалы

x = π + 2 πn or - \frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

Объединить Перекрывающиеся Интервалы

- \frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or x = π + 2 πn

2cos^2(x)+cos(x)-1>= 0

Решение

Решение

Популярные примеры