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受欢迎的三角函数 >

-2<= 2/(cos(x))<= 1

解答

- 2 \leq \frac{2}{cos ( x )} \leq 1

解答

x = π + 2 πn

+1

十进制

x = 3.14159 \dots + 2 πn

求解步骤

- 2 \leq \frac{2}{cos ( x )} \leq 1

若

a \leq u \leq b

，则

a \leq u and u \leq b

- 2 \leq \frac{2}{cos ( x )} and \frac{2}{cos ( x )} \leq 1

- 2 \leq \frac{2}{cos ( x )} : - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or x = π + 2 πn

- 2 \leq \frac{2}{cos ( x )}

交换两边

\frac{2}{cos ( x )} \geq - 2

改写为标准形式

\frac{2}{cos ( x )} \geq - 2

两边加上

2

\frac{2}{cos ( x )} + 2 \geq - 2 + 2

化简

\frac{2}{cos ( x )} + 2 \geq 0

化简

\frac{2}{cos ( x )} + 2 : \frac{2 + 2 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{2}{cos ( x )} + 2

将项转换为分式:

2 = \frac{2 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{2}{cos ( x )} + \frac{2 cos ( x )}{cos ( x )}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 + 2 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{2 + 2 cos ( x )}{cos ( x )} \geq 0

\frac{2 + 2 cos ( x )}{cos ( x )} \geq 0

分解

\frac{2 + 2 cos ( x )}{cos ( x )} : \frac{2 ( cos ( x ) + 1 )}{cos ( x )}

\frac{2 + 2 cos ( x )}{cos ( x )}

分解

2 cos (x) + 2 : 2 (cos (x) + 1)

2 cos (x) + 2

因式分解出通项

2

= 2 (cos (x) + 1)

= \frac{2 ( cos ( x ) + 1 )}{cos ( x )}

\frac{2 ( cos ( x ) + 1 )}{cos ( x )} \geq 0

两边除以

2

\frac{\frac{2 ( c o s ( x ) + 1 )}{c o s ( x )}}{2} \geq \frac{0}{2}

化简

\frac{cos ( x ) + 1}{cos ( x )} \geq 0

确定区间

确定

\frac{cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

符号

确定

cos (x) + 1

符号

cos (x) + 1 = 0 : cos (x) = - 1

cos (x) + 1 = 0

将

1

到右边

cos (x) + 1 = 0

两边减去

1

cos (x) + 1 - 1 = 0 - 1

化简

cos (x) = - 1

cos (x) = - 1

cos (x) + 1 < 0 : cos (x) < - 1

cos (x) + 1 < 0

将

1

到右边

cos (x) + 1 < 0

两边减去

1

cos (x) + 1 - 1 < 0 - 1

化简

cos (x) < - 1

cos (x) < - 1

cos (x) + 1 > 0 : cos (x) > - 1

cos (x) + 1 > 0

将

1

到右边

cos (x) + 1 > 0

两边减去

1

cos (x) + 1 - 1 > 0 - 1

化简

cos (x) > - 1

cos (x) > - 1

确定

cos (x)

符号

cos (x) = 0

cos (x) < 0

cos (x) > 0

找到奇点

找到分母的零解

cos (x) : cos (x) = 0

总结如下表：

cos (x) + 1 cos (x) \frac{c o s ( x ) + 1}{c o s ( x )} cos (x) < - 1 - - + cos (x) = - 1 0 - 0 - 1 < cos (x) < 0 + - - cos (x) = 0 + 0 未定义 cos (x) > 0 + + +

确定满足所需条件的区间：

\geq 0

cos (x) < - 1 or cos (x) = - 1 or cos (x) > 0

合并重叠的区间

cos (x) \leq - 1 or cos (x) > 0

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

cos (x) < - 1

or

cos (x) = - 1

cos (x) \leq - 1

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

cos (x) \leq - 1

or

cos (x) > 0

cos (x) \leq - 1 or cos (x) > 0

cos (x) \leq - 1 or cos (x) > 0

cos (x) \leq - 1 or cos (x) > 0

cos (x) \leq - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) \leq - 1

对于

cos (x) \leq a

，若

- 1 < a < 1

，则

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (- 1) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (- 1) + 2 πn

化简

arccos (- 1) : π

arccos (- 1)

使用以下普通恒等式:

arccos (- 1) = π

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= π

化简

2 π - arccos (- 1) : π

2 π - arccos (- 1)

使用以下普通恒等式:

arccos (- 1) = π

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - π

同类项相加:

2 π - π = π

= π

π + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

化简

x = π + 2 πn

cos (x) > 0 : - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

cos (x) > 0

对于

cos (x) > a

，若

- 1 \leq a < 1

，则

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (0) + 2 πn < x < arccos (0) + 2 πn

化简

- arccos (0) : - \frac{π}{2}

- arccos (0)

使用以下普通恒等式:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{2}

化简

arccos (0) : \frac{π}{2}

arccos (0)

使用以下普通恒等式:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

合并区间

x = π + 2 πn or - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

合并重叠的区间

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or x = π + 2 πn

\frac{2}{cos ( x )} \leq 1 : \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

\frac{2}{cos ( x )} \leq 1

改写为标准形式

\frac{2}{cos ( x )} \leq 1

两边减去

1

\frac{2}{cos ( x )} - 1 \leq 1 - 1

化简

\frac{2}{cos ( x )} - 1 \leq 0

化简

\frac{2}{cos ( x )} - 1 : \frac{2 - cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{2}{cos ( x )} - 1

将项转换为分式:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{2}{cos ( x )} - \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 - 1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )}

乘以:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{2 - cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{2 - cos ( x )}{cos ( x )} \leq 0

\frac{2 - cos ( x )}{cos ( x )} \leq 0

确定区间

确定

\frac{2 - cos ( x )}{cos ( x )}

符号

确定

2 - cos (x)

符号

2 - cos (x) = 0 : cos (x) = 2

2 - cos (x) = 0

将

2

到右边

2 - cos (x) = 0

两边减去

2

2 - cos (x) - 2 = 0 - 2

化简

- cos (x) = - 2

- cos (x) = - 2

两边除以

- 1

- cos (x) = - 2

两边除以

- 1

\frac{- cos ( x )}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}

化简

cos (x) = 2

cos (x) = 2

2 - cos (x) < 0 : cos (x) > 2

2 - cos (x) < 0

将

2

到右边

2 - cos (x) < 0

两边减去

2

2 - cos (x) - 2 < 0 - 2

化简

- cos (x) < - 2

- cos (x) < - 2

在两边乘以

- 1

- cos (x) < - 2

两边乘以 -1（不等式变号）

(- cos (x)) (- 1) > (- 2) (- 1)

化简

cos (x) > 2

cos (x) > 2

2 - cos (x) > 0 : cos (x) < 2

2 - cos (x) > 0

将

2

到右边

2 - cos (x) > 0

两边减去

2

2 - cos (x) - 2 > 0 - 2

化简

- cos (x) > - 2

- cos (x) > - 2

在两边乘以

- 1

- cos (x) > - 2

两边乘以 -1（不等式变号）

(- cos (x)) (- 1) < (- 2) (- 1)

化简

cos (x) < 2

cos (x) < 2

确定

cos (x)

符号

cos (x) = 0

cos (x) < 0

cos (x) > 0

找到奇点

找到分母的零解

cos (x) : cos (x) = 0

总结如下表：

2 - cos (x) cos (x) \frac{2 - c o s ( x )}{c o s ( x )} cos (x) < 0 + - - cos (x) = 0 + 0 未定义 0 < cos (x) < 2 + + + cos (x) = 2 0 + 0 cos (x) > 2 - + -

确定满足所需条件的区间：

\leq 0

cos (x) < 0 or cos (x) = 2 or cos (x) > 2

合并重叠的区间

cos (x) < 0 or cos (x) = 2 or cos (x) > 2

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

cos (x) < 0

or

cos (x) = 2

cos (x) < 0 or cos (x) = 2

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

cos (x) < 0 or cos (x) = 2

or

cos (x) > 2

cos (x) < 0 or cos (x) \geq 2

cos (x) < 0 or cos (x) \geq 2

cos (x) < 0 or cos (x) \geq 2

cos (x) < 0 : \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) < 0

对于

cos (x) < a

，若

- 1 < a \leq 1

，则

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (0) + 2 πn < x < 2 π - arccos (0) + 2 πn

化简

arccos (0) : \frac{π}{2}

arccos (0)

使用以下普通恒等式:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

化简

2 π - arccos (0) : \frac{3 π}{2}

2 π - arccos (0)

使用以下普通恒等式:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{π}{2}

化简

2 π - \frac{π}{2}

将项转换为分式:

2 π = \frac{2 π 2}{2}

= \frac{2 π 2}{2} - \frac{π}{2}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 2 - π}{2}

2 π 2 - π = 3 π

2 π 2 - π

数字相乘:

2 \cdot 2 = 4

= 4 π - π

同类项相加:

4 π - π = 3 π

= 3 π

= \frac{3 π}{2}

= \frac{3 π}{2}

\frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) \geq 2 :

对所有

x \in R

为假

cos (x) \geq 2

cos (x)

的值域:

- 1 \leq cos (x) \leq 1

函数值域定义

基本

cos

函数的值域为

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) \geq 2 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 :

假

令

y = cos (x)

合并区间

y \geq 2 and - 1 \leq y \leq 1

合并重叠的区间

y \geq 2 and - 1 \leq y \leq 1

两个区间的交集是指同时存在于这两个区间的数的集合

y \geq 2

and

- 1 \leq y \leq 1

对所有 y \in R 为假

对所有 y \in R 为假

x \in R 无解

对所有 x \in R 为假

合并区间

\frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn or 对所有 x \in R 为假

合并重叠的区间

\frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

合并区间

(- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or x = π + 2 πn) and \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

合并重叠的区间

x = π + 2 πn

流行的例子

2-4sin(3x)0<= x<= 2pi

2 - 4 sin (3 x) 0 \leq x \leq 2 π

0<2sin(x)cos(x)<2sqrt(2)

0 < 2 sin (x) cos (x) < 22

cot(θ)>0\land csc(θ)<0

cot (θ) > 0 and csc (θ) < 0

sin(A)=(-4)/5 \land cos(A)>0,cos(A)

sin (A) = \frac{- 4}{5} and cos (A) > 0, cos (A)

sin(θ)= 2/5 \land sec(θ)>0

sin (θ) = \frac{2}{5} and sec (θ) > 0