解答
6sin(x)−5cos(x)=7
解答
x=2.72507…+2πn,x=1.80599…+2πn
+1
度数
x=156.13507…∘+360∘n,x=103.47606…∘+360∘n求解步骤
6sin(x)−5cos(x)=7
两边加上 5cos(x)6sin(x)=7+5cos(x)
两边进行平方(6sin(x))2=(7+5cos(x))2
两边减去 (7+5cos(x))236sin2(x)−49−70cos(x)−25cos2(x)=0
使用三角恒等式改写
−49−25cos2(x)+36sin2(x)−70cos(x)
使用毕达哥拉斯恒等式: cos2(x)+sin2(x)=1sin2(x)=1−cos2(x)=−49−25cos2(x)+36(1−cos2(x))−70cos(x)
化简 −49−25cos2(x)+36(1−cos2(x))−70cos(x):−61cos2(x)−70cos(x)−13
−49−25cos2(x)+36(1−cos2(x))−70cos(x)
乘开 36(1−cos2(x)):36−36cos2(x)
36(1−cos2(x))
使用分配律: a(b−c)=ab−aca=36,b=1,c=cos2(x)=36⋅1−36cos2(x)
数字相乘:36⋅1=36=36−36cos2(x)
=−49−25cos2(x)+36−36cos2(x)−70cos(x)
化简 −49−25cos2(x)+36−36cos2(x)−70cos(x):−61cos2(x)−70cos(x)−13
−49−25cos2(x)+36−36cos2(x)−70cos(x)
对同类项分组=−25cos2(x)−36cos2(x)−70cos(x)−49+36
同类项相加:−25cos2(x)−36cos2(x)=−61cos2(x)=−61cos2(x)−70cos(x)−49+36
数字相加/相减:−49+36=−13=−61cos2(x)−70cos(x)−13
=−61cos2(x)−70cos(x)−13
=−61cos2(x)−70cos(x)−13
−13−61cos2(x)−70cos(x)=0
用替代法求解
−13−61cos2(x)−70cos(x)=0
令:cos(x)=u−13−61u2−70u=0
−13−61u2−70u=0:u=−6135+123,u=−6135−123
−13−61u2−70u=0
改写成标准形式 ax2+bx+c=0−61u2−70u−13=0
使用求根公式求解
−61u2−70u−13=0
二次方程求根公式:
若 a=−61,b=−70,c=−13u1,2=2(−61)−(−70)±(−70)2−4(−61)(−13)
u1,2=2(−61)−(−70)±(−70)2−4(−61)(−13)
(−70)2−4(−61)(−13)=243
(−70)2−4(−61)(−13)
使用法则 −(−a)=a=(−70)2−4⋅61⋅13
使用指数法则: (−a)n=an,若 n 是偶数(−70)2=702=702−4⋅61⋅13
数字相乘:4⋅61⋅13=3172=702−3172
702=4900=4900−3172
数字相减:4900−3172=1728=1728
1728质因数分解:26⋅33
1728
1728除以 21728=864⋅2=2⋅864
864除以 2864=432⋅2=2⋅2⋅432
432除以 2432=216⋅2=2⋅2⋅2⋅216
216除以 2216=108⋅2=2⋅2⋅2⋅2⋅108
108除以 2108=54⋅2=2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅54
54除以 254=27⋅2=2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅27
27除以 327=9⋅3=2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅3⋅9
9除以 39=3⋅3=2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅3⋅3⋅3
2,3 都是质数，因此无法进一步因数分解=2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅3⋅3⋅3
=26⋅33
=26⋅33
使用指数法则: ab+c=ab⋅ac=26⋅32⋅3
使用根式运算法则: nab=nanb=32632
使用根式运算法则: nam=anm26=226=23=23332
使用根式运算法则: nan=a32=3=23⋅33
整理后得=243
u1,2=2(−61)−(−70)±243
将解分隔开u1=2(−61)−(−70)+243,u2=2(−61)−(−70)−243
u=2(−61)−(−70)+243:−6135+123
2(−61)−(−70)+243
去除括号: (−a)=−a,−(−a)=a=−2⋅6170+243
数字相乘:2⋅61=122=−12270+243
使用分式法则: −ba=−ba=−12270+243
消掉 12270+243:6135+123
12270+243
分解 70+243:2(35+123)
70+243
改写为=2⋅35+2⋅123
因式分解出通项 2=2(35+123)
=1222(35+123)
约分:2=6135+123
=−6135+123
u=2(−61)−(−70)−243:−6135−123
2(−61)−(−70)−243
去除括号: (−a)=−a,−(−a)=a=−2⋅6170−243
数字相乘:2⋅61=122=−12270−243
使用分式法则: −ba=−ba=−12270−243
消掉 12270−243:6135−123
12270−243
分解 70−243:2(35−123)
70−243
改写为=2⋅35−2⋅123
因式分解出通项 2=2(35−123)
=1222(35−123)
约分:2=6135−123
=−6135−123
二次方程组的解是:u=−6135+123,u=−6135−123
u=cos(x)代回cos(x)=−6135+123,cos(x)=−6135−123
cos(x)=−6135+123,cos(x)=−6135−123
cos(x)=−6135+123:x=arccos(−6135+123)+2πn,x=−arccos(−6135+123)+2πn
cos(x)=−6135+123
使用反三角函数性质
cos(x)=−6135+123
cos(x)=−6135+123的通解cos(x)=−a⇒x=arccos(−a)+2πn,x=−arccos(−a)+2πnx=arccos(−6135+123)+2πn,x=−arccos(−6135+123)+2πn
x=arccos(−6135+123)+2πn,x=−arccos(−6135+123)+2πn
cos(x)=−6135−123:x=arccos(−6135−123)+2πn,x=−arccos(−6135−123)+2πn
cos(x)=−6135−123
使用反三角函数性质
cos(x)=−6135−123
cos(x)=−6135−123的通解cos(x)=−a⇒x=arccos(−a)+2πn,x=−arccos(−a)+2πnx=arccos(−6135−123)+2πn,x=−arccos(−6135−123)+2πn
x=arccos(−6135−123)+2πn,x=−arccos(−6135−123)+2πn
合并所有解x=arccos(−6135+123)+2πn,x=−arccos(−6135+123)+2πn,x=arccos(−6135−123)+2πn,x=−arccos(−6135−123)+2πn
将解代入原方程进行验证
将它们代入 6sin(x)−5cos(x)=7检验解是否符合
去除与方程不符的解。
检验 arccos(−6135+123)+2πn的解:真
arccos(−6135+123)+2πn
代入 n=1arccos(−6135+123)+2π1
对于 6sin(x)−5cos(x)=7代入x=arccos(−6135+123)+2π16sin(arccos(−6135+123)+2π1)−5cos(arccos(−6135+123)+2π1)=7
整理后得7=7
⇒真
检验 −arccos(−6135+123)+2πn的解:假
−arccos(−6135+123)+2πn
代入 n=1−arccos(−6135+123)+2π1
对于 6sin(x)−5cos(x)=7代入x=−arccos(−6135+123)+2π16sin(−arccos(−6135+123)+2π1)−5cos(−arccos(−6135+123)+2π1)=7
整理后得2.14501…=7
⇒假
检验 arccos(−6135−123)+2πn的解:真
arccos(−6135−123)+2πn
代入 n=1arccos(−6135−123)+2π1
对于 6sin(x)−5cos(x)=7代入x=arccos(−6135−123)+2π16sin(arccos(−6135−123)+2π1)−5cos(arccos(−6135−123)+2π1)=7
整理后得7=7
⇒真
检验 −arccos(−6135−123)+2πn的解:假
−arccos(−6135−123)+2πn
代入 n=1−arccos(−6135−123)+2π1
对于 6sin(x)−5cos(x)=7代入x=−arccos(−6135−123)+2π16sin(−arccos(−6135−123)+2π1)−5cos(−arccos(−6135−123)+2π1)=7
整理后得−4.66960…=7
⇒假
x=arccos(−6135+123)+2πn,x=arccos(−6135−123)+2πn
以小数形式表示解x=2.72507…+2πn,x=1.80599…+2πn