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人気のある三角関数 >

cot(θ)+3csc(θ)=5

解

cot (θ) + 3 csc (θ) = 5

解

θ = 0.82641 \dots + 2 πn, θ = 2.70997 \dots + 2 πn

+1

度

θ = 47.34982 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 155.27003 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

cot (θ) + 3 csc (θ) = 5

両辺から

5

を引く

cot (θ) + 3 csc (θ) - 5 = 0

サイン, コサインで表わす

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 3 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 5 = 0

簡素化

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 3 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 5 : \frac{cos ( θ ) + 3 - 5 sin ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 3 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 5

3 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} = \frac{3}{sin ( θ )}

3 \cdot \frac{1}{sin ( θ )}

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3}{sin ( θ )}

数を乗じる:

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{3}{sin ( θ )} - 5

分数を組み合わせる

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{3}{sin ( θ )} : \frac{cos ( θ ) + 3}{sin ( θ )}

規則を適用

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) + 3}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + 3}{sin ( θ )} - 5

元を分数に変換する:

5 = \frac{5 sin ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + 3}{sin ( θ )} - \frac{5 sin ( θ )}{sin ( θ )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) + 3 - 5 sin ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{cos ( θ ) + 3 - 5 sin ( θ )}{sin ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos (θ) + 3 - 5 sin (θ) = 0

両辺に

5 sin (θ)

を足す

cos (θ) + 3 = 5 sin (θ)

両辺を2乗する

(cos (θ) + 3)^{2} = (5 sin (θ))^{2}

両辺から

(5 sin (θ))^{2}

を引く

(cos (θ) + 3)^{2} - 25 sin^{2} (θ) = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

(3 + cos (θ))^{2} - 25 sin^{2} (θ)

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (3 + cos (θ))^{2} - 25 (1 - cos^{2} (θ))

簡素化

(3 + cos (θ))^{2} - 25 (1 - cos^{2} (θ)) : 26 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) - 16

(3 + cos (θ))^{2} - 25 (1 - cos^{2} (θ))

(3 + cos (θ))^{2} : 9 + 6 cos (θ) + cos^{2} (θ)

完全平方式を適用する:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 3, b = cos (θ)

= 3^{2} + 2 \cdot 3 cos (θ) + cos^{2} (θ)

簡素化

3^{2} + 2 \cdot 3 cos (θ) + cos^{2} (θ) : 9 + 6 cos (θ) + cos^{2} (θ)

3^{2} + 2 \cdot 3 cos (θ) + cos^{2} (θ)

3^{2} = 9

= 9 + 2 \cdot 3 cos (θ) + cos^{2} (θ)

数を乗じる:

2 \cdot 3 = 6

= 9 + 6 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 9 + 6 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 9 + 6 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 25 (1 - cos^{2} (θ))

拡張

- 25 (1 - cos^{2} (θ)) : - 25 + 25 cos^{2} (θ)

- 25 (1 - cos^{2} (θ))

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = - 25, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= - 25 \cdot 1 - (- 25) cos^{2} (θ)

マイナス・プラスの規則を適用する

- (- a) = a

= - 25 \cdot 1 + 25 cos^{2} (θ)

数を乗じる:

25 \cdot 1 = 25

= - 25 + 25 cos^{2} (θ)

= 9 + 6 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 25 + 25 cos^{2} (θ)

簡素化

9 + 6 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 25 + 25 cos^{2} (θ) : 26 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) - 16

9 + 6 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 25 + 25 cos^{2} (θ)

条件のようなグループ

= 6 cos (θ) + cos^{2} (θ) + 25 cos^{2} (θ) + 9 - 25

類似した元を足す:

cos^{2} (θ) + 25 cos^{2} (θ) = 26 cos^{2} (θ)

= 6 cos (θ) + 26 cos^{2} (θ) + 9 - 25

数を足す/引く:

9 - 25 = - 16

= 26 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) - 16

= 26 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) - 16

= 26 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) - 16

- 16 + 26 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) = 0

置換で解く

- 16 + 26 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) = 0

仮定:

cos (θ) = u

- 16 + 26 u^{2} + 6 u = 0

- 16 + 26 u^{2} + 6 u = 0 : u = \frac{- 3 + 5 17}{26}, u = - \frac{3 + 5 17}{26}

- 16 + 26 u^{2} + 6 u = 0

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c = 0

26 u^{2} + 6 u - 16 = 0

解くとthe二次式

26 u^{2} + 6 u - 16 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = 26, b = 6, c = - 16

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 \cdot 26 ( - 16 )}{2 \cdot 26}

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 \cdot 26 ( - 16 )}{2 \cdot 26}

6^{2} - 4 \cdot 26 (- 16) = 1017

6^{2} - 4 \cdot 26 (- 16)

規則を適用

- (- a) = a

= 6^{2} + 4 \cdot 26 \cdot 16

数を乗じる:

4 \cdot 26 \cdot 16 = 1664

= 6^{2} + 1664

6^{2} = 36

= 36 + 1664

数を足す:

36 + 1664 = 1700

= 1700

以下の素因数分解:

1700 : 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 17

1700

170021700 = 850 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 850

8502850 = 425 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 425

4255425 = 85 \cdot 5

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 85

85585 = 17 \cdot 5

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 17

2, 5, 17

はすべて素数である。ゆえにさらに因数分解することはできない

= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 17

= 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 17

= 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 17

累乗根の規則を適用する:

n ab = n a n b

= 17 2^{2} 5^{2}

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 217 5^{2}

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 2 \cdot 517

改良

= 1017

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 10 17}{2 \cdot 26}

解を分離する

u_{1} = \frac{- 6 + 10 17}{2 \cdot 26}, u_{2} = \frac{- 6 - 10 17}{2 \cdot 26}

u = \frac{- 6 + 10 17}{2 \cdot 26} : \frac{- 3 + 5 17}{26}

\frac{- 6 + 10 17}{2 \cdot 26}

数を乗じる:

2 \cdot 26 = 52

= \frac{- 6 + 10 17}{52}

因数

- 6 + 1017 : 2 (- 3 + 517)

- 6 + 1017

書き換え

= - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 517

共通項をくくり出す

2

= 2 (- 3 + 517)

= \frac{2 ( - 3 + 5 17 )}{52}

共通因数を約分する:

2

= \frac{- 3 + 5 17}{26}

u = \frac{- 6 - 10 17}{2 \cdot 26} : - \frac{3 + 5 17}{26}

\frac{- 6 - 10 17}{2 \cdot 26}

数を乗じる:

2 \cdot 26 = 52

= \frac{- 6 - 10 17}{52}

因数

- 6 - 1017 : - 2 (3 + 517)

- 6 - 1017

書き換え

= - 2 \cdot 3 - 2 \cdot 517

共通項をくくり出す

2

= - 2 (3 + 517)

= - \frac{2 ( 3 + 5 17 )}{52}

共通因数を約分する:

2

= - \frac{3 + 5 17}{26}

二次equationの解:

u = \frac{- 3 + 5 17}{26}, u = - \frac{3 + 5 17}{26}

代用を戻す

u = cos (θ)

cos (θ) = \frac{- 3 + 5 17}{26}, cos (θ) = - \frac{3 + 5 17}{26}

cos (θ) = \frac{- 3 + 5 17}{26}, cos (θ) = - \frac{3 + 5 17}{26}

cos (θ) = \frac{- 3 + 5 17}{26} : θ = arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{- 3 + 5 17}{26}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (θ) = \frac{- 3 + 5 17}{26}

以下の一般解

cos (θ) = \frac{- 3 + 5 17}{26}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{3 + 5 17}{26} : θ = arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{3 + 5 17}{26}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (θ) = - \frac{3 + 5 17}{26}

以下の一般解

cos (θ) = - \frac{3 + 5 17}{26}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn

すべての解を組み合わせる

θ = arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn

元のequationに当てはめて解を検算する

cot (θ) + 3 csc (θ) = 5

に当てはめて解を確認する

equationに一致しないものを削除する。

解答を確認する

arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn :

真

arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn

挿入

n = 1

arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 π 1

cot (θ) + 3 csc (θ) = 5

の挿入向け

θ = arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 π 1

cot (arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 π 1) + 3 csc (arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 π 1) = 5

改良

5 = 5

\Rightarrow 真

解答を確認する

2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn :

偽

2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn

挿入

n = 1

2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 π 1

cot (θ) + 3 csc (θ) = 5

の挿入向け

θ = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 π 1

cot (2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 π 1) + 3 csc (2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 π 1) = 5

改良

- 5 = 5

\Rightarrow 偽

解答を確認する

arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn :

真

arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn

挿入

n = 1

arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 π 1

cot (θ) + 3 csc (θ) = 5

の挿入向け

θ = arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 π 1

cot (arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 π 1) + 3 csc (arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 π 1) = 5

改良

5 = 5

\Rightarrow 真

解答を確認する

- arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn :

偽

- arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn

挿入

n = 1

- arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 π 1

cot (θ) + 3 csc (θ) = 5

の挿入向け

θ = - arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 π 1

cot (- arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 π 1) + 3 csc (- arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 π 1) = 5

改良

- 5 = 5

\Rightarrow 偽

θ = arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn

10進法形式で解を証明する

θ = 0.82641 \dots + 2 πn, θ = 2.70997 \dots + 2 πn

グラフ

人気の例

2cos^2(θ)-2sin^2(θ)=sqrt(3)

2 cos^{2} (θ) - 2 sin^{2} (θ) = 3

1 - ∣ cos (x) ∣ = 0

sin (θ) = - 0.789

\frac{1}{2} \cdot cos (a) = 0

94.5^2=60^2+50^2+6000cos(θ)

94. 5^{2} = 6 0^{2} + 5 0^{2} + 6000 cos (θ)