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integral of sqrt(1+cos(6x))

Lösung

\int 1 + cos (6 x) d x

Lösung

\frac{2}{3} sin (3 x) + C

Schritte zur Lösung

\int 1 + cos (6 x) d x

Wende integrale Substitution an

= \int \frac{1}{2} 1 + cos (3 u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (3 u) d u

Wende integrale Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{2} 1 + cos (\frac{3 v}{2}) d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (\frac{3 v}{2}) d v

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (w) \frac{2}{3} d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \int 1 + cos (w) d w

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \int \frac{2 2}{( 1 + t ^{2} ) 1 + t ^{2}} d t

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 22 \cdot \int \frac{1}{( 1 + t ^{2} ) 1 + t ^{2}} d t

Vereinfache

(1 + t^{2}) 1 + t^{2} : (1 + t^{2})^{\frac{3}{2}}

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 22 \cdot \int \frac{1}{( 1 + t ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d t

Trigonometrische Substitution anwenden

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 22 \cdot \int cos (r) d r

Nutze das gemeinsame Integral :

\int cos (r) d r = sin (r)

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 22 sin (r)

Ersetze zurück

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 22 sin (arctan (tan (\frac{\frac{3 \cdot 2 \cdot 2 x}{2}}{2})))

Vereinfache

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 22 sin (arctan (tan (\frac{\frac{3 \cdot 2 \cdot 2 x}{2}}{2}))) : \frac{2}{3} sin (3 x)

= \frac{2}{3} sin (3 x)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{2}{3} sin (3 x) + C

Graph

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